Question

4．在平面直角坐標系xOy中，直線y=-$\frac{1}{4}$x+n經過點A（-4，2），分別與x，y軸交于點B，C，拋物線y=x²-2mx+m²-n的頂點為D．?
（1）求點B，C的坐標；
（2）①直接寫出拋物線頂點D的坐標（用含m的式子表示）；
②若拋物線y=x²-2mx+m²-n與線段BC有公共點，求m的取值范圍．?

Answer 1

分析 （1）把A點坐標代入直線解析式，可求得n的值，可得直線解析式，即可求得B、C的坐標；
（2）①把拋物線解析式化為頂點式，結合（1）中所求n的值，可求得D點坐標；②把B、C兩點的坐標分別代入拋物線解析式，可求得m的值，從而可求得其取值范圍．

解答 解：
（1）把A（-4，2）代入y=$-\frac{1}{4}$x+n中，得n=1，
∴直線解析式為y=$-\frac{1}{4}$x+1，
令y=0可求得x=4，令x=0可得y=1，
∴B（4，0），C（0，1）；
（2）①∵y=x²-2mx+m²-n=（x-m）²-1，
∴D（m，-1）；
②將點（0，1）代入y=x²-2mx+m²-1中，得1=m²-1，解得m=$\sqrt{2}$或m=-$\sqrt{2}$，
將點（4，0）代入y=x²-2mx+m²-1中，得0=16-8m+m²-1，解得m=5或m=3，
∴$-\sqrt{2}≤m≤5$．

點評 本題主要考查二次函數的性質，求得拋物線的解析式是解題的關鍵，注意數形結合．