Question

15、已知一次函數y₁=6x，二次函數y₂=3x²+3，是否存在二次函數y₃=x²+bx+c，其圖象經過點（-4，1），且對于任意實數x的同一個值，這三個函數對應的函數值y₁，y₂，y₃都有y₁≤y₂≤y₃成立？若存在，求出函數y₃的解析式；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：先假設存在這樣的實數a，則實數a也必須滿足y₁=y₂=y₃，所以，在足y₁=y₂的方程中求的點a的坐標；然后將其代入y₃，再與二次函數y₃=x²+bx+c圖象經過點（-4，1）這一條件，解得b、c的值，從而解得y₃的解析式；最后根據y₂≤y₃來解關于a的不等式，該不等式的值是a取任何實數，不等式都會成立，則存在這樣的實數a，反之，不存在這樣的實數a．即假設不成了．

解答：解：存在這樣的實數．
設該實數是a．
則y₁≤y₂，即6a≤3a²+3，
解得（a-1）²≥0，
∴a是任意實數，且當a=1時取“=”；
當a=1時，y=6，即點（1，6）滿足y₁≤y₂≤y₃，
將點（1，6）代入二次函數y₃=x²+bx+c，得
6=1+b+c，①
又∵二次函數y₃=x²+bx+c，其圖象經過點（-4，1），
∴1=16-4b+c，②
由①②解得，
b=4，c=1，
∴函數y₃的解析式為：y=x²+4x+1；
∴3a²+3≤a²+4a+1，
解得，（a-1）²≤0，
顯而易見，這是錯誤的，所以點a不適合．
所以，不存在這樣的任意實數a，使y₁≤y₂≤y₃成立．

點評：本題綜合考查了二次函數圖象上點的坐標的特征、待定系數法求二次函數解析式．解答此題時，采用了“反證法”來證明a的存在與否．