Question

【題目】如圖，在平面直角坐標系中，直線y＝﹣x+5與x軸交于點B，與y軸交于點C．拋物線y＝x2+bx+c經過點B和點C，與x軸交于另一點A，連接AC．

（1）求拋物線的解析式；

（2）若點Q在直線BC上方的拋物線上，連接QC，QB，當△ABC與△QBC的面積比等于2：3時，直接寫出點Q的坐標：

（3）在（2）的條件下，點H在x軸的負半軸，連接AQ，QH，當∠AQH＝∠ACB時，直接寫出點H的坐標．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2﹣6x+5；（2）點Q（﹣1，12）或（6，5）；（3）點H的坐標為：（﹣19，0）或（﹣，0）．

【解析】

（1）直線y=-x+5與x軸交于點B，與y軸交于點C，則點B、C的坐標分別為：（5，0）、（0，5），即可求解；

（2）過點A作直線BC的平行線n交y軸于點M，則點M（0，1），則CM=5-1=4，在點C上方取CN=CM=6，過點N作直線m交拋物線于點Q（Q′），則點Q為所求，即可求解

（3）分點Q（6，5）、點Q（-1，12）兩種情況，分別求解即可．

解：（1）直線y＝﹣x+5與x軸交于點B，與y軸交于點C，則點B、C的坐標分別為：（5，0）、（0，5），則c＝5，將點B的坐標代入拋物線表達式并解得：b＝﹣6，

故拋物線的表達式為：y＝x2﹣6x+5；

（2）過點A作直線BC的平行線n交y軸于點M，則點M（0，1），則CM＝5﹣1＝4，

在點C上方取CN＝CM＝6，過點N作直線m交拋物線于點Q（Q′），則點Q為所求，

則點N（0，11），則直線m的表達式為：y＝﹣x+11…②，

聯立①②并解得：x＝﹣1或6，

故點Q（﹣1，12）或（6，5）；

（3）過點A作AK⊥BC于點K，

AB＝4，則AK＝BK＝，AC＝，

則sin∠ABC＝＝sinα，則tanα=；

①當點Q（6，5）時，

過點H作HR⊥AQ交QA的延長線于點R

由點A、Q的坐標知，tan∠QAB＝1＝tanβ，故β＝45°，AQ＝5，

則HR＝AR＝x，tan∠HQR＝tanα＝，

解得：x＝10，AH＝x＝20，

故點H（﹣19，0）；

②當點Q（﹣1，12）時，

同理可得：點H（﹣，0）；

綜上，點H的坐標為：（﹣19，0）或（﹣，0）．