Question

在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝30°，將△ABC繞頂點C順時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為(0°＜＜180°)，得到△A₁B₁C．

1.如圖1，當AB∥CB₁時，設(shè)A₁B₁與BC相交于點D．證明：△A₁CD是等邊三角形；

2.如圖2，連接AA₁、BB₁，若△ACA₁的面積為S，求△BCB₁的面積

3.如圖3，設(shè)AC的中點為E，A₁B₁的中點為P，AC＝a，連接EP．求EP的長度最大時∠的度數(shù)，并求出此時EP的最大值．

 

Answer 1

 

1.易求得, ,因此得證.

2.易證得∽,且相似比為，得△BCB₁的面積為3s.

3.120°，  

解析:本試題主要考查了三角形的相似的性質(zhì)的運用，和平行的性質(zhì)的靈活使用。第一問中當AB∥CB₁時，設(shè)A₁B₁與BC相交于點D．結(jié)合相似得到角相等，從而△A₁CD是等邊三角形

第二問中，連接AA₁、BB₁，若△ACA₁的面積為S，求△BCB₁的面積，結(jié)合∠ACB＝90°，

∠ABC＝30°，將△ABC繞頂點C順時針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為(0°＜＜180°)，得到△A₁B₁C．

。可得。第三問設(shè)AC的中點為E，A₁B₁的中點為P，AC＝a，連接EP，利用EP的長度最大值得到。