Question

【題目】如圖①，在矩形OABC中，OA=4，OC=3，分別以OC、OA所在的直線為x軸、y軸，建立如圖所示的坐標系，連接OB，反比例函數y=(x＞0)的圖象經過線段OB的中點D，并與矩形的兩邊交于點E和點F，直線l：y=kx+b經過點E和點F．

（1）寫出中點D的坐標　　　　 ，并求出反比例函數的解析式；

（2）連接OE、OF，求△OEF的面積；

（3）如圖②，將線段OB繞點O順時針旋轉一定角度，使得點B的對應點H恰好落在x軸的正半軸上，連接BH，作OM⊥BH，點N為線段OM上的一個動點，求HN+ON的最小值．

Answer 1

【答案】（1）D(，2)，y=；（2）；（3）4．

【解析】

（1）首先確定點B坐標，再根據中點坐標公式求出點D的坐標即可解決問題．

（2）求出點E，F的坐標，再根據S△OEF=S矩形ABCO﹣S△AOE﹣S△OCF﹣S△EFB計算即可．

（3）如圖②中，作NJ⊥BD于J．HK⊥BD于K．解直角三角形首先證明：sin∠JOD＝，推出NJ＝ONsin∠NOD＝ON，推出NH＋ON＝NH＋NJ，根據垂線段最短可知，當J，N，H共線，且與HK重合時，HN＋ON的值最小，最小值＝HK的長，由此即可解決問題．

（1）在矩形ABCO中，∵OA=BC=4，OC=AB=3，

∴B(3，4)．

∵OD=DB，

∴D(，2)．

∵y=經過D(，2)，

∴k=3，

∴反比例函數的解析式為y=．

（2）如圖①中，連接OE，OF．

由題意E(，4)，F(3，1)，

∴S△OEF=S矩形ABCO﹣S△AOE﹣S△OCF﹣S△EFB=12﹣×4×﹣×3×1﹣×3×(3﹣)=．

（3）如圖②中，作NJ⊥BD于J．HK⊥BD于K．

由題意OB=OH=5，

∴CH=OH﹣OC=5﹣3=2，

∴BH==2，

∴sin∠CBH==．

∵OM⊥BH，

∴∠OMH=∠BCH=90°．

∵∠MOH+∠OHM=90°，∠CBH+∠CHB=90°，

∴∠MOH=∠CBH．

∵OB=OH，OM⊥BH，

∴∠MOB=∠MOH=∠CBH，

∴sin∠JOD=，

∴NJ=ONsin∠NOD=ON，

∴NH+ON=NH+NJ，

根據垂線段最短可知，當J，N，H共線，且與HK重合時，HN+ON的值最小，最小值=HK的長．

∵OB=OH，BC⊥OH，HK⊥OB，

∴HK=BC=4，

∴HN+ON是最小值為4．