Question

（2009•金平區模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=8，AC=6．若動點D從點B出發，沿線段BA運動到點A為止，運動速度為每秒2個單位長度．過點D作DE∥BC交AC于點E，設動點D運動的時間為x秒，AE的長為y．
（1）求出y關于x的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（2）當x為何值時，△BDE的面積S有最大值，最大值為多少？

Answer 1

分析：（1）根據已知條件DE∥BC可以判定△ADE∽△ABC；然后利用相似三角形的對應邊成比例求得

AD

AB

=

AE

AC

；最后用x、y表示該比例式中的線段的長度；
（2）根據∠A=90°得出S_△BDE=

1

2

•BD•AE，再運用函數性質求解即可．

解答：解：（1）由題可知，BD=2x，AD=8-2x，
∵DE∥BC
∴△ADE∽△ABC
∴

AD

AB

=

AE

AC

∴

8-2x

8

=

y

6

∴y=-

3

2

x+6，
其中0＜x≤4；

（2）∵∠A=90°
∴AE是△BDE中BD邊上的高，
∴S△BDE=

1

2

BD•AE
∴S=

1

2

×2x×（-

3

2

x+6）
=-

3

2

（x²-4x+4）+6
=-

3

2

（x-2）²+6．
∴當x=2時，S有最大值，且最大值為6．

點評：本題主要考查相似三角形的判定、三角形的面積及涉及到二次函數的最值問題，找到等量比是解題的關鍵．