Question

如圖所示，矩形ABCD中，AB=6，BC=4，點F在DC上，DF=2．動點M、N分別從點D、B同時出發，沿射線DA、線段BA向點A的方向運動（點M可運動到DA的延長線上），當動點N運動到點A時，M、N兩點同時停止運動．連接FM、MN、FN，過△FMN三邊的中點作△PQW．設動點M、N的速度都是1個單位/秒，M、N運動的時間為x秒．試解答下列問題：
（1）說明△FMN∽△QWP；
（2）設0≤x≤4．試問x為何值時，△PQW為直角三角形？
（3）試用含的代數式表示MN²，并求當x為何值時，MN²最小？求此時MN²的值．

Answer 1

分析：（1）由根據題意可知P、W、Q分別是△FMN三邊的中點，可得PW是△FMN的中位線，然后即可證明△FMN∽△QWP；
（2）由（1）得，△FMN∽△QWP，當△QWP為直角三角形時，△FMN為直角三角形，根據DM=BN=x，AN=6-x，AM=4-x，利用勾股定理求得FM²=4+x²，MN²=（4-x）²+（6-x）²，FN²=（4-x）²+16，然后分①當MN²=FM²+FN²時，②當FN²=FM²+MN²時，③FM²=MN²+FN²時三種情況討論即可．
（3）根據①當0≤x≤4，即M從D到A運動時，MN≥AN，AN=6-x，故只有當x=4時，MN的值最小即可求得答案，②當4＜x≤6時，MN²=AM²+AN²=（x-4）²+（6-x）²，解得x即可

解答：解：（1）由題意可知P、W、Q分別是△FMN三邊的中點，
∴PW是△FMN的中位線，即PW∥MN，
∴

QW

MF

=

PW

MN

=

PQ

NF

=

1

2

，
∴△FMN∽△QWP；

（2）由（1）得，△FMN∽△QWP，
∴當△QWP為直角三角形時，△FMN為直角三角形，反之亦然．
由題意可得DM=BN=x，AN=6-x，AM=4-x，
由勾股定理分別得FM²=4+x²，MN²=（4-x）²+（6-x）²，
過點N作NK⊥CD于K，
∴CK=BN=x，
∵CF=CD-DF=6-2=4，
∴FK=4-x，
∴FN²=NK²+FK²=（4-x）²+16，
①當MN²=FM²+FN²時，（4-x）²+（6-x）²=4+x²+（4-x）²+16，
解得x=

4

3

，
②當FN²=FM²+MN²時，（4-x）²+16=4+x²+（4-x）²+（6-x）²
此方程無實數根，
③FM²=MN²+FN²時，4+x²=（4-x）²+（6-x）²+（4-x）²+16，
解得x₁=10（不合題意，舍去），x₂=4，
綜上，當x=

4

3

或x=4時，△PQW為直角三角形．

（3）①當0≤x≤4，即M從D到A運動時，MN≥AN，AN=6-x，
故只有當x=4時，MN的值最小，MN²的值也最小，此時MN=2，MN²=4，（10分）
②當4＜x≤6時，MN²=AM²+AN²=（x-4）²+（6-x）²，
=2（x-5）²+2，
當x=5時，MN²取得最小值2，
∴當x=5時，MN²的值最小，此時MN²=2．

點評：此題涉及到相似三角形的判定與性質，二次函數的最值，勾股定理的逆定理，三角形中位線定理等知識點的理解和掌握，難度較大，綜合性較強，利于學生系統地掌握所學知識．