Question

（2007•牡丹江）已知四邊形ABCD中，AB=BC，∠ABC=120°，∠MBN=60°，∠MBN繞B點旋轉，它的兩邊分別交AD，DC（或它們的延長線）于E，F．
當∠MBN繞B點旋轉到AE=CF時（如圖1），易證AE+CF=EF；
當∠MBN繞B點旋轉到AE≠CF時，在圖2和圖3這兩種情況下，上述結論是否成立？若成立，請給予證明；若不成立，線段AE，CF，EF又有怎樣的數量關系？請寫出你的猜想，不需證明．

Answer 1

【答案】分析：根據已知可以利用SAS證明△ABE≌△CBF，從而得出對應角相等，對應邊相等，從而得出∠ABE=∠CBF=30°，△BEF為等邊三角形，利用等邊三角形的性質及邊與邊之間的關系，即可推出AE+CF=EF．
同理圖2可證明是成立的，圖3不成立．
解答：解：∵AB⊥AD，BC⊥CD，AB=BC，AE=CF，
在△ABE和△CBF中，
，
∴△ABE≌△CBF（SAS）；
∴∠ABE=∠CBF，BE=BF；
∵∠ABC=120°，∠MBN=60°，
∴∠ABE=∠CBF=30°，
∴AE=BE，CF=BF；
∵∠MBN=60°，BE=BF，
∴△BEF為等邊三角形；
∴AE+CF=BE+BF=BE=EF；

圖2成立，圖3不成立．
證明圖2．
延長DC至點K，使CK=AE，連接BK，
在△BAE和△BCK中，

則△BAE≌△BCK，
∴BE=BK，∠ABE=∠KBC，
∵∠FBE=60°，∠ABC=120°，
∴∠FBC+∠ABE=60°，
∴∠FBC+∠KBC=60°，
∴∠KBF=∠FBE=60°，
在△KBF和△EBF中，

∴△KBF≌△EBF，
∴KF=EF，
∴KC+CF=EF，
即AE+CF=EF．
圖3不成立，
AE、CF、EF的關系是AE-CF=EF．
點評：本題主要考查全等三角形的判定方法，常用的方法有SSS，SAS，AAS等，這些方法要求學生能夠掌握并靈活運用．