Question

【題目】在平面直角坐標系上，已知點A（8，4），AB⊥y軸于B，AC⊥x軸于C，直線y＝x交AB于D．

（1）直接寫出B、C、D三點坐標；

（2）若E為OD延長線上一動點，記點E橫坐標為a，△BCE的面積為S，求S與a的關系式；

（3）當S＝20時，過點E作EF⊥AB于F，G、H分別為AC、CB上動點，求FG+GH的最小值．

Answer 1

【答案】（1）B（0，4），C（8，0），D（4，4）．（2）S＝6a﹣16．（3）2

【解析】

（1）首先證明四邊形ABOC是矩形，再根據直線y＝x是第一象限的角平分線，可得OB＝BD，延長即可解決問題；

（2）根據S＝S△OBE+S△OEC﹣S△OBC計算即可解決問題；

（3）首先確定點E坐標，如圖二中，作點F關于直線AC的對稱點F′，作F′H⊥BC于H，交AC于G．此時FG+GH的值最小；

解：（1）∵AB⊥y軸于B，AC⊥x軸于C，

∴∠ABO＝∠ACO＝∠COB＝90°，

∴四邊形ABOC是矩形，

∵A（8，4），

∴AB＝OC＝8，AC＝OB＝4，

∴B（0，4），C（8，0），

∵直線y＝x交AB于D，

∴∠BOD＝45°，

∴OB＝DB＝4，

∴D（4，4）；

（2）由題意E（a，a），

∴S＝S△OBE+S△OEC﹣S△OBC＝×4×a+×8×a﹣×4×8＝6a﹣16；

（3）當S＝20時，20＝6a﹣16，

解得a＝6，

∴E（6，6），

∵EF⊥AB于F，

∴F（6，4），

如圖二中，作點F關于直線AC的對稱點F′，作F′H⊥BC于H，交AC于G．此時FG+GH的值最小．

∵∠ABC＝∠F′BH，∠BAC＝∠F′HB，

∴△ABC∽△HBF′，

∴，

∵AC＝4，BC＝＝4，BF′＝AB+AF′＝8+2＝10，

∴，

∴F′H＝2，

∴FG+GH的最小值＝F′H＝2．