Question

如圖，直角梯形ABCD中，AB⊥BC，AD∥BC，點E是AB的中點，且AD+BC=DC、下列結論中：①△ADE∽△BEC；②DE²=DA•DC；③若設AD=a，CD=b，BC=c，則關于x的方程ax²+bx+c=0有兩個不相等的實數根；④若設AD=a，AB=b，BC=c，則關于x的方程ax²+bx+c=0有兩個相等的實數根．其中正確的結論有（ ）個．

A．1個
B．2個
C．3個
D．4個

Answer 1

【答案】分析：過E作梯形兩底的平行線EF，交CD于F；由梯形的中位線定理知AD+BC=2EF，故DC=2EF，由于F是CD的中點，即可證得△DEC是直角三角形，然后根據得到這個條件對四個結論逐一判斷．
解答：解：過E作EF∥AD∥BC；
∵E是AB的中點，
∴EF是梯形ABCD的中位線，即AD+BC=2EF，F是CD的中點；
又∵AD+BC=CD，
∴CD=2EF，又F是CD的中點，
易得△DEC是直角三角形，即∠DEC=90°；由于AD∥EF，且F是Rt△EDC斜邊CD的中點（即FE=FD），
∴∠ADE=∠FED=∠FDE，
過E作EG⊥CD，
∵∠A=∠EGD=90°，∠ADE=∠GDE，DE=DE，
∴△ADE≌△DEG，同理可證△BEC≌△GEC；
①∵∠DEC=90°，
∴∠AED+∠BEC=90°，又∠ADE+∠AED=90°，
∴∠ADE=∠BEC，又∠A=∠B，
∴△ADE∽△BEC，故①正確；
②在Rt△DEC中，EG⊥CD，由射影定理得：DE²=DG•DC，
由于AD=DG，所以DE²=DA•DC，故②正確；
③若AD=a，CD=b，BC=c，則由：
a+c=b，即c=b-a；
∴關于x的方程ax²+bx+c=0根的判別式為：
△=b²-4ac=b²-4a（b-a）=b²-4ab+4a²=（b-2a）²；
由于EF≠AD，即CD≠2AD，b≠2a，
∴△=（b-2a）²＞0，
即方程有兩個不相等的實數根，故③正確；
④在Rt△EDC中，EG=AE=AB=b，DG=AD=a，CG=BC=c；
由射影定理得：EG²=DG•CG，即（b）²=ac，即b²=4ac，b²-4ac=0；
所以關于x的方程ax²+bx+c=0有兩個相等的實數根．故④正確；
因此正確的結論有4個，
故選D．
點評：此題考查的知識點有：直角梯形的性質、相似三角形的判定和性質、梯形中位線定理以及根的判別式等知識，解此題的關鍵有兩步：①證明△DEC是直角三角形，②通過輔助線構造出全等三角形．