Question

已知：圖1為一銳角是30°的直角三角尺，其邊框為透明塑料制成(內、外直角三角形對應邊互相平行且三處所示寬度相等)．
操作：將三角尺移向直徑為4cm的⊙O，它的內Rt△ABC的斜邊AB恰好等于⊙O的直徑，它的外Rt△A′B′C′的直角邊A′C′ 恰好與⊙O相切(如圖2)。

思考：(1) 求直角三角尺邊框的寬。
(2) 求BB′C′+CC′B′的度數。
(3) 求邊B′C′的長。

Answer 1

(1) 2   (2) 75°  (3)

試題分析：（1）如圖2所示，將三角尺移向直徑為4cm的⊙O，它的內Rt△ABC的斜邊AB恰好等于⊙O的直徑，即AB=4；圖1為一銳角是30°的直角三角尺，內、外直角三角形對應邊互相平行且三處所示寬度相等，，根據直角三角形的性質，所以BC=AB=2
（2）因為內、外直角三角形對應邊互相平行且三處所示寬度相等，它的外Rt△A′B′C′的直角邊A′C′ 恰好與⊙O相切(如圖2)。
由題意得BB′是的角平分線，CC′是的角平分線，而，所以；BB′C′+CC′B′=
（3）過O點作OE⊥A1C1，過B點、C點作BE⊥B1C1，CF⊥B1C1于E、F兩點

由題意知OA=OD=2，，在直角三角形ABC中BC==2，四邊形O1DC1F、BCEF是矩形，所以FC1=O1D，FC1=；EF=BC=2；BB′是的角平分線，，所以B1E=BB1==，所以B′C′的長=1+2+=3+
點評：本題考查圓、矩形，三角函數，要求掌握圓的性質，矩形的性質，三角函數的定義，本題屬中等難度題