Question

【題目】在菱形ABCD中，E是對角線AC上的一個動點，連結BE并延長交直線AD于點F．

(1)若AB＝10，sin∠BAC＝；

①求對角線AC的長；

②若BE＝4，求AE的長；

(2)若點F在邊AD上，且＝k，△BEC和四邊形ECDF的面積分別是S1和S2，求的最大值．

Answer 1

【答案】(1)①AC=12；②AE′=8；(2)的最大值為．

【解析】

(1)①連接BD，根據菱形的性質得到AO＝OC，AC⊥BD，根據正弦的定義、勾股定理計算，得到答案；

②分點F在邊AD上、點F在邊AD的延長線上兩種情況，根據勾股定理計算；

(2)連接DE，證明△BCE≌△DCE，設△BCE的面積為S，根據相似三角形的性質求出S△AEF、S△EFD，根據二次函數的性質計算即可．

解：(1)①如圖1，連接BD，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AO＝OC，AC⊥BD，

在Rr△AOB中，sin∠BAC＝，即，

解得，OB＝8，

由勾股定理得，AO＝＝6，

則AC＝2OA＝12；

②當點F在邊AD上時，OE＝＝4，

則AE＝OA﹣OE＝2，

當點F′在邊AD的延長線上時，AE′＝OA+OE′＝8；

(2)如圖2，連接DE，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴CB＝CD，∠ACB＝∠ACD，

在△BCE和△DCE中，

，

∴△BCE≌△DCE(SAS)

設△BCE的面積為S，則△DCE的面積為S，

∵AF∥BC，

∴△AEF∽△CEB，

∴＝k2，即S△AEF＝k2S，

∵＝k，

∴，

∴，

解得，S△EFD＝kS﹣k2S，

＝＝﹣k2+k+1＝﹣(k﹣)2+，

當k＝時，的最大值為．