Question

如圖①，有兩個形狀完全相同的直角三角形ABC和EFG疊放在一起（點A與點E重合），已知AC=8cm，BC=6cm，∠C=90°，EG=4cm，∠EGF=90°，O是△EFG斜邊上的中點．如圖②，若整個△EFG從圖①的位置出發，以1cm/s 的速度沿射線AB方向平移，在△EFG 平移的同時，點P從△EFG的頂點G出發，以1cm/s 的速度在直角邊GF上向點F運動，當點P到達點F時，點P停止運動，△EFG也隨之停止平移，設運動時間為x（s），FG的延長線交AC于H，四邊形OAHP的面積為y（cm²）（不考慮點P與G、F重合的情況）。
（1）當x為何值時，OP∥AC？
（2）求y與x 之間的函數關系式，并確定自變量x的取值范圍；
（3）是否存在某一時刻，使四邊形OAHP面積與△ABC面積的比為13∶24？若存在，求出x的值；若不存在，說明理由。
（參考數據：114² =12996，115²=13225，116² =13456 或4.4²=19.36，4.5²=20.25，4.6²=21.16）

Answer 1

解：（1）∵Rt△EFG∽Rt△ABC ，
∴， 
∴FG==3cm，
∵當P為FG的中點時，OP∥EG ，EG∥AC ，
∴OP∥AC，
∴ x =×3=1.5（s），
∴當x為1.5s時，OP∥AC；
（2）在Rt△EFG 中，由勾股定理得：EF =5cm，
∵EG∥AH，
∴△EFG∽△AFH，
∴，
∴，
∴AH=（x +5），FH=（x+5），
過點O作OD⊥FP，垂足為D，
∵點O為EF中點，
∴OD=EG=2cm，
∵FP=3-x，
∴S_{四邊形OAHP} =S_△AFH-S_△OFP
=·AH·FH-·OD·FP
=·（x+5）·（x+5）-×2×（3-x ）
=x²+x+3 （0＜x＜3）
（3）假設存在某一時刻x，使得四邊形OAHP面積與△ABC面積的比為13∶24，
則S_{四邊形OAHP}=×S_△ABC
∴x²+x+3=××6×8，
∴6x²+85x-250=0，
解得x₁=，x₂=-（舍去），
∵0＜x＜3，
∴當x=（s）時，四邊形OAHP面積與△ABC面積的比為13∶24。