Question

如圖，已知拋物線y=ax²+bx+c（經過原點）與x軸相交于N點，直線y=kx+4與坐標軸分別相交于A、D兩點，與拋物線相交于B（1，m）和C（2，2）兩點．
（1）求直線與拋物線的表達式；
（2）求證：C點是△AOD的外心；
（3）若（1）中的拋物線，在x軸上方的部分，有一動點P（x，y），設∠PON=α．當sinα為何值時，△PON的面積有最大值？
（4）若P點保持（3）中運動路線，是否存在△PON，使得其面積等于△OCN面積的？若存在，求出動點P的位置；若不存在，請說出理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由拋物線y=ax²+bx+c經過原點，可得其表達式可以寫成y=ax²+bx，又由直線y=kx+4與拋物線相交于B、C兩點，把兩點的坐標代入y=kx+4，利用待定系數法即可求得直線的表達式與點B與C的坐標，繼而求得拋物線的表達式；
（2）由（1）中直線的解析式，求得A與D的坐標，可得AC=CD=OC=AD，即可得C點是△AOD的外心；
（3）通過分析可得P為頂點時，S_△OPN面積最大．求得頂點的坐標，根據正弦函數的定義，即可求得sinα的值；
（4）首先過點P作PE⊥x軸于N點，設點P的坐標為（x，-2x²+5x），即可表示出△PON的面積，然后求得△OCN的面積，由△PON的面積等于△OCN面積的，即可得方程，解此方程即可求得答案．
解答：解：（1）∵拋物線y=ax²+bx+c經過原點，
∴其表達式可以寫成y=ax²+bx．
∵直線y=kx+4與拋物線相交于B、C兩點，把兩點的坐標代入y=kx+4，得：
，
解得：，
∴直線是：y=-x+4，
點B（1，3），C（2，2）代入二次函數的表達式，得：
，
解得：，
∴拋物線的表達式為：y=-2x²+5x．

（2）∵y=-x+4，令x=0，y=4；
令y=0，x=4，
∴A（0，4），D（4，0）．
∴AD==4．而OC=2，
∴OC=AD．
∴C是Rt△AOD的外心．

（3）通過分析知道，P為頂點時，S_△OPN面積最大．
此時，P（，），
又∵方程-2x²+5x=0的兩根是x₁=0，x₂=，即ON=．
∴OP=．
∴sinα=，此時△PON有最大面積（底是相同的）．

（4）存在．
理由：過點P作PE⊥x軸于N點，
設點P的坐標為（x，-2x²+5x），
∴S_△OCN=ON•PD=××（-2x²+5x）=（-2x²+5x），
∵S_△OCN=ON×2×=ON=，
又∵△PON的面積等于△OCN面積的，
∴（-2x²+5x）=×，
解得：x₁=，x₂=，
∴當x=時，y=，
當x=時，y=，
∴點P的坐標為（，）或（，）．
點評：此題考查了一次函數與二次函數的綜合應用．此題綜合性很強，解題的關鍵是掌握待定系數法求函數的解析式，掌握點與函數的關系，圓的外心的定義，三角函數以及三角形面積的求解方法等知識．注意數形結合思想與方程思想的應用．