Question

14．在△ABC中，∠ABC=90°，D為△ABC內一動點，BD=a，CD=b（其中a，b為常數，且a＜b）．將△CDB沿CB翻折，得到△CEB．連接AE．
（1）請在圖（1）中補全圖形；
（2）若∠ACB=α，AE⊥CE，則∠AEB=α；
（3）在（2）的條件下，用含a，b，α的式子表示AE的長．

Answer 1

分析 （1）根據條件畫出圖象即可．
（2）結論：∠AEB=α．先證明△EOC∽△OBA，得$\frac{EO}{OB}$=$\frac{CO}{OA}$，推出$\frac{EO}{OC}$=$\frac{OB}{OA}$，再證明△EOB∽△COA即可解決問題．
（3）如圖2中，過點B作BF⊥BE，交AE于點F，先證明△EBC∽△FBA，分別求出EF，AF即可解決問題．

解答 解：（1）圖象如圖1所示，


（2）結論：∠AEB=α．
理由：如圖1中，設BC與AE交于點O，
∵AE⊥EC，
∴∠CEO=∠OBA，
∵∠EOC=∠BOA，
∴△EOC∽△OBA，
∴$\frac{EO}{OB}$=$\frac{CO}{OA}$，
∴$\frac{EO}{OC}$=$\frac{OB}{OA}$，∵∠EOB=∠COD，
∴△EOB∽△COA，
∴∠OEB=∠ACO=α．
故答案為α．

（3）如圖2中，

∵AE⊥CE
∴∠AEC=90°，
∵∠AEB=α，
∴∠BEC=90°+α，
過點B作BF⊥BE，交AE于點F，
則有∠FBE=90°．
即∠EBC+∠CBF=90°．
∵∠ABC=∠FBA+∠CBF=90°，
∴∠EBC=∠FBA．
∵∠BFA=∠AEB+∠EBF=90°+α．
∴∠BEC=∠BFA
∴△EBC∽△FBA．
∴$\frac{BA}{BC}=\frac{BF}{BE}=\frac{FA}{EC}$=tanα．
∵BD=a，CD=b，
∴BE=a，EC=b．
∴EF=$\frac{a}{cosα}$，AF=b•tanα．
∴AE=EF+AF=$\frac{a}{cosα}$+b•tanα．

點評 本題參考三角形綜合題、相似三角形的判定和性質等知識，解題的關鍵是正確尋找相似三角形，利用相似三角形性質解決問題，屬于中考常考題型．