Question

如圖，將矩形ABCD沿對角線AC剪開，再把△ACD沿CA方向平移得到△A′C′D′．
（1）證明△A′AD′≌△CC′B；
（2）若∠ACB=30°，試問當點C'在線段AC上的什么位置時，四邊形ABC′D′是菱形，并請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據已知利用SAS判定△A′AD′≌△CC′B；
（2）由已知可推出四邊形ABC′D′是平行四邊形，只要再證明一組鄰邊相等即可確定四邊形ABC′D′是菱形，由已知可得到BC′=AC，AB=AC，從而得到AB=BC′，所以四邊形ABC′D′是菱形．
解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
△A′C′D′由△ACD平移得到，
∴A′D′=AD=CB，AA′=CC′，A′D′∥AD∥BC．
∴∠D′A′C′=∠BCA．
∴△A′AD′≌△CC′B．

（2）解：當點C′是線段AC的中點時，四邊形ABC′D′是菱形．
理由如下：
∵四邊形ABCD是矩形，△A′C′D′由△ACD平移得到，
∴C′D′=CD=AB．
由（1）知AD′=C′B．
∴四邊形ABC′D′是平行四邊形．
在Rt△ABC中，點C′是線段AC的中點，
∴BC′=AC．
而∠ACB=30°，
∴AB=AC．
∴AB=BC′．
∴四邊形ABC′D′是菱形．
點評：本題即考查了全等的判定及菱形的判定，注意對這兩個判定定理的準確掌握．考查了學生綜合運用數學的能力．