Question

如圖，△ABC是邊長為a的等邊三角形，O為△ABC的中心．將△ABC繞著中心O旋轉120°．
①直接寫出△ABC的內切圓半徑r和外接圓半徑R分別是多少？
②設點D、E、F分別在邊AB、BC、CA上，且AD=2DB，BE=2EC，CF=2FA，試畫出△DEF，說明它的形狀，并計算它的周長；
③根據“線動成面”的道理，△ABC的三條邊AB、BC和CA在旋轉過程中掃過的部分組成的平面圖形的形狀是什么？并計算出此圖形的面積．

Answer 1

解：①內切圓半徑，外接圓半徑；

②如圖畫出△DEF，可知它是等邊三角形．
取BE的中點M，連接DM，
由BD=BM=a，且∠B=60°，得等邊△BDM，
∴DM=ME=a，∠MDE=∠MED，
又∠BMD=60°，
∴∠MED=∠BMD=30°，
∴∠BDE=90°，
在Rt△BDE中，DE=BD=a，
∴等邊△DEF的周長=；

③圖形的形狀是：三角形的外接圓與內切圓所形成的圓環．
∵圓環的大圓半徑是△ABC外接圓半徑R，小圓半徑是△ABC內切圓半徑r，
∴圓環的面積=πR²-πr²==．
分析：①O點到各定點的距離是外接圓半徑R，O到各邊的距離就是內接圓半徑r；
②易知△DEF是等邊三角形，可借助直角三角形求出其邊長，繼而得出其周長；
③△ABC旋轉過程中掃過的部分組成的平面圖形的形狀是三角形的外接圓與內切圓所形成的圓環，大圓的面積減去小圓的面積即可求得．
點評：本題考查了旋轉的性質、三角形的內、外接圓及圓面積的計算，考查了知識點比較多，熟記其計算公式，是解答的關鍵，考查了學生的空間想象能力．