Question

如圖，△ABC中，MN∥BD交AC于P，∠ACB、∠ACD的平分線分別交MN于E、F．
（1）求證：PE=PF；
（2）當MN與AC的交點P在什么位置時，四邊形AECF是矩形，說明理由；
（3）當△ABC滿足什么條件時，四邊形AECF是正方形．（不需要證明）

Answer 1

【答案】分析：（1）根據CE平分∠ACB，MN∥BC，可知∠ACE=∠BCE，∠PEC=∠BCE，PE=PC，同理：PF=PC，故PE=PF．
（2）根據矩形的性質可知當P是AC中點時四邊形AECF是矩形．
（3）當∠ACB=90°時四邊形AECF是正方形．
解答：證明：（1）∵CE平分∠ACB，
∴∠ACE=∠BCE．
∵MN∥BC，
∴∠PEC=∠BCE．
∴∠ACE=∠PEC，PE=PC．
同理：PF=PC．
∴PE=PF．

（2）當P是AC中點時四邊形AECF是矩形，
∵PA=PC，PF=PC，
∴四邊形AECF是平行四邊形．
∵PE=PC，
∴AC=EF，四邊形AECF是矩形．

（3）當∠ACB=90°時，四邊形AECF是正方形．
點評：此題比較復雜，解答此題的關鍵是熟知角平分線、矩形、菱形、正方形的判定與性質定理．