Question

【題目】已知∠MAN=120°，AC平分∠MAN，點B、D分別在AN、AM上．
（1）如圖1，若∠ABC=∠ADC=90°，請你探索線段AD、AB、AC之間的數量關系，并證明之；
（2）如圖2，若∠ABC+∠ADC=180°，則（1）中的結論是否仍然成立？若成立，給出證明；若不成立，請說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）關系是：AD+AB=AC

證明：∵AC平分∠MAN，∠MAN=120°

∴∠CAD=∠CAB=60°

又∠ADC=∠ABC=90°，

∴∠ACD=∠ACB=30°

則AD=AB= AC（直角三角形一銳角為30°，則它所對直角邊為斜邊一半）

∴AD+AB=AC

（2）解：仍成立．

證明：過點C分別作AM、AN的垂線，垂足分別為E、F

∵AC平分∠MAN

∴CE=CF（角平分線上點到角兩邊距離相等）

∵∠ABC+∠ADC=180°，∠ADC+∠CDE=180°

∴∠CDE=∠ABC

又∠CED=∠CFB=90°，∴△CED≌△CFB（AAS）

∵ED=FB，∴AD+AB=AE﹣ED+AF+FB=AE+AF

由（1）知AE+AF=AC

∴AD+AB=AC

【解析】（1）得到∠ACD=∠ACB=30°后再可以證得AD=AB= AC從而，證得結論；（2）過點C分別作AM、AN的垂線，垂足分別為E、F，證得△CED≌△CFB后即可得到AD+AB=AE﹣ED+AF+FB=AE+AF，從而證得結論．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解角平分線的性質定理的相關知識，掌握定理1：在角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等； 定理2：一個角的兩邊的距離相等的點，在這個角的平分線上，以及對含30度角的直角三角形的理解，了解在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半．