Question

【題目】如圖，拋物線y=－++4的圖象與y軸交于點A，與x軸交于B、C兩點，其對稱軸與x軸交于點D，連接AC．

(1)點A的坐標為_______ ，點C的坐標為_______ ；

(2)線段AC上是否存在點E，使得△EDC為等腰三角形?若存在，求出所有符合條件的點E的坐標；若不存在，請說明理由；

(3)點P為x軸上方的拋物線上的一個動點，連接PA、PC，若所得△PAC的面積為S，則S取何值時，相應的點P有且只有2個?

Answer 1

【答案】(1)、A（0,4） C（8,0）；(2)、（0，4）、、（8-2，）；(3)、S=16.

【解析】

試題分析：(1)、根據x=0和y=0分別求出點A和點C的坐標；(2)、首先求出點D的坐標，CD的長度和直線AC的解析式，然后分DE=DC，DE=EC和DC=EC三種情況分別求出點E的坐標；(3)、首先設出點P和點Q的坐標，然后列出面積的函數關系式，然后進行求解.

試題解析：(1)、A（0,4） C（8,0）

(2)、易得D（3，0），CD=5， 設直線AC對應的函數關系式為y=kx+b，則：

解得：； ∴y=-x+4；

①當DE=DC時，

∵OA=4，OD=3， ∴DA=5， ∴（0，4）；

②過E點作EG⊥x軸于G點，

當DE=EC時，由DG=，

把x=OD+DG=3+=代入到y=-x+4，求出y=

可得；

③當DC=EC時，如圖，過點E作EG⊥CD， 則△CEG∽△CAO，

∴，又OA=4，OC=8，則AC=4，DC=EC=5， ∴EG=，CG=2，

∴（8-2，）；

綜上所述，符合條件的E點共有三個：（0，4）、、（8-2，）

(3)、如圖，過P作PH⊥OC，垂足為H，交直線AC與點Q；

設P（m，-+m+4），則Q（m，-m+4）．

①當0＜m＜8時，

PQ=（-+m+4）-（-m+4）=-+2m，

S=+=×8×（-+2m）=-+16， ∴0＜S≤16；

②當-2≤m＜0時，

PQ=（-m+4）-（-+m+4）=－2m，

S=-=×8×（－2m）=-16，

∴0＜S＜20；

∴當0＜S＜16時，0＜m＜8中有m兩個值，-2＜m＜0中m有一個值，此時有三個；

當16＜S＜20時，-2＜m＜0中m只有一個值；

當S=16時，m=4或m=4-4這兩個． 故當S=16時，相應的點P有且只有兩個