Question

閱讀：如圖1把兩塊全等的含45°的直角三角板ABC和DEF疊放在一起，使三角板DEF的銳角頂點D與三角板ABC的斜邊中點O重合，把三角板ABC固定不動，讓三角板DEF繞點D旋轉，兩邊分別與線段AB、BC相交于點P、Q，易說明△APD∽△CDQ．
猜想（1）：如圖2，將含30°的三角板DEF（其中∠EDF=30°）的銳角頂點D與等腰三角形ABC（其中∠ABC=120°）的底邊中點O重合，兩邊分別與線段AB、BC相交于點P、Q．寫出圖中的相似三角形

 

（直接填在橫線上）；
驗證（2）：其它條件不變，將三角板DEF旋轉至兩邊分別與線段AB的延長線、邊BC相交于點P、Q．上述結論還成立嗎？請你在圖3上補全圖形，并說明理由．
連接PQ，△APD與△DPQ是否相似？為什么？
探究（3）：根據（1）（2）的解答過程，你能將兩三角板改為一個更為一般的條件，使得（1）成立？

Answer 1

分析：（1）通過角的轉化得出∠APD=∠CDQ，進而可得出△APD∽△CQD；
（2）與延長線交于一點，但并不影響∠APD=∠CDQ，所以仍成立；
（3）只要△ABC是等腰三角形，且∠EDF=∠A，結論就成立．

解答：解：（1）∵∠ABC=120°，
∴∠A=∠C=30°，
∵∠ADP+∠APD=150°，∠ADP+∠QDC=150°，
∴∠APD=∠CDQ，
∴△APD∽△CDQ；

（2）成立；如圖所示，
∵∠ADP+∠APD=150°，∠ADP+∠QDC=150°，
∴∠APD=∠CDQ，
又∠A=∠C，
∴△APD∽△CDQ，
∵△APD∽△CDQ，
∴

AP

CD

=

AD

CQ

=

PD

DQ

，
∵AD=CD，
∴

AP

AD

=

PD

DQ

，
∵∠A=∠C=∠PDQ，
∴△APD∽△DPQ；

（3）可以，將兩三角板改為一個更為一般的條件：AB=BC，∠EDF=∠A，D為AC中點．

點評：能夠利用一些角的轉化求解一些簡單的相似問題．