Question

已知：如圖，在矩形ABCD中，M，N分別是邊AD、BC的中點，E，F分別是線段BM，CM的中點．
（1）求證：△ABM≌△DCM；
（2）判斷四邊形MENF是什么特殊四邊形，并證明你的結論；
（3）當AD：AB=    時，四邊形MENF是正方形（只寫結論，不需證明）

Answer 1

【答案】分析：（1）求出AB=DC，∠A=∠D=90°，AM=DM，根據全等三角形的判定定理推出即可；
（2）根據三角形中位線定理求出NE∥MF，NE=MF，得出平行四邊形，求出BM=CM，推出ME=MF，根據菱形的判定推出即可；
（3）求出∠EMF=90°，根據正方形的判定推出即可．
解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴AB=DC，∠A=∠D=90°，
∵M為AD中點，
∴AM=DM，
在△ABM和△DCM，

∴△ABM≌△DCM（SAS）；

（2）答：四邊形MENF是菱形．
證明：∵N、E、F分別是BC、BM、CM的中點，
∴NE∥CM，NE=CM，MF=CM，
∴NE=FM，NE∥FM，
∴四邊形MENF是平行四邊形，
∵△ABM≌△DCM，
∴BM=CM，
∵E、F分別是BM、CM的中點，
∴ME=MF，
∴平行四邊形MENF是菱形；

（3）解：當AD：AB=2：1時，四邊形MENF是正方形．
理由是：∵M為AD中點，
∴AD=2AM，
∵AD：AB=2：1，
∴AM=AB，
∵∠A=90∴∠ABM=∠AMB=45°，
同理∠DMC=45°，
∴∠EMF=180°-45°-45°=90°，
∵四邊形MENF是菱形，
∴菱形MENF是正方形，
故答案為：2：1．
點評：本題考查了正三角形的中位線，矩形的性質，全等三角形的性質和判定，菱形、平行四邊形、正方形的判定的應用，主要考查學生的推理能力．