Question

【題目】如圖所示，以BC為直徑的⊙O中，點A、E為圓周上兩點，過點A作AD⊥BC，垂足為D，作AF⊥CE的延長線于點F，垂足為F，連接AC、AO，已知BD＝EF，BC＝4．

（1）求證：∠ACB＝∠ACF；

（2）當∠AEF＝　 　°時，四邊形AOCE是菱形；

（3）當AC＝　 　時，四邊形AOCE是正方形．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）60；（3）.

【解析】

（1）證明△ABD≌△AEF，可得AB＝AE，則結論得證；

（2）根據菱形的判定方法，當OC＝CE＝AE＝OA時，四邊形OAEC為菱形，則可判斷△OCE為等邊三角形，所以∠OCE＝60°，可得∠AEF＝60°；

（3）利用正方形的判定方法，當∠AOC＝90°時，四邊形AOCE為正方形，則根據正方形的性質計算出此時AC的長．

解：（1）證明：∵∠ABC+∠AEC＝∠AEC+∠AEF＝180°，

∴∠ABC＝∠AEF，

在△ABD和△AEF中，，

∴△ABD≌△AEF（ASA）

∴AB＝AE，

∴∠ACB＝∠ACF；

（2）60，

如圖所示，連接OE，

∵四邊形AOCE是菱形，

∴OA＝OC＝CE＝AE，

∵OC＝CE＝OE，

∴△ECO是等邊三角形，

∴∠OCE＝60°，

∴AE∥BC，

∴∠AEF＝∠OCE＝60°．

故答案為：60；

（3）∵BC＝4，

∴OC＝＝2，

∵四邊形AOCE是正方形，

∴∠AOC＝90°，

∴．

故答案為：．