Question

如圖1，在平面直角坐標系xOy中，直線y₁=-x上一點A（-1，1），過點A作AB⊥x軸于B．在圖中畫圖探究：將一把三角尺的直角頂點P放在線段AO上滑行，直角的一邊始終經過點B，另一邊與y軸相交于點Q．

（1）判斷線段PQ與線段PB的數量關系，就點P運動到圖1所示位置時證明你的結論；
（2）當點P在線段AO上滑行時，△POQ是否可能成為等腰三角形，如果可能，求出所有能使△POQ成為等腰三角形的點P的坐標；如果不可能，請說明理由；
（3）猜想OB、OQ與OP之間的數量關系：

 

．

Answer 1

分析：（1）PQ=PC，過點P作x軸，y軸的垂線PC，PD，證明△PCB≌△PDQ即可；
（2）①當點P與點A重合時，PQ=QO，△POQ是等腰三角形，此時P（-1，1）；
②當點Q在y軸負半軸上，且OP=OQ時，△POQ是等腰三角形，即可求得ON的長，得到P的坐標；
（3）根據（2）中，三條線段的大小關系即可猜想．

解答：解：（1）PQ=PB．
過點P作PC⊥x軸于點C，PD⊥y軸于點D．
∵點P在直線y₁=-x上，
∴PC=PD．
∵∠PCO=∠COD=∠ODP=90°，
∴∠CPD=90°
又∵∠BPQ=90°，
∴∠BPC=∠QPD，（1分）
∵∠PCB=∠PDQ=90°，
∴△PCB≌△PDQ
∴PB=PQ（2分）

（2）△POQ可能成為等腰三角形、設P（x，x）
①當點P與點A重合時，PQ=QO，△POQ是等腰三角形，此時P（1，1）（3分）
②當點Q在y軸負半軸上，且OP=OQ時，△POQ是等腰三角形（如圖）
此時，QN=PM=1-x，ON=x，
所以OQ=QN-ON=1-2x，OP=

2

x，
當1-2x=

2

x時，解得x=

1

2+ 2

，
∴P（-

1

2+ 2

，

1

2+ 2

）（5分）

（3）OB+OQ=

2

OP（6分）
OB-OQ=

2

OP（7分）

點評：本題綜合考查了等腰三角形的性質，以及三角形的全等，考查了同學們綜合運用所學知識的能力，是一道綜合性較好的題目．