Question

【題目】如圖所示，以△ABC的邊AB為直徑作⊙O，點C在⊙O上，BD是⊙O的弦，∠A＝∠CBD，過點C作CF⊥AB于點F，交BD于點G過C作CE∥BD交AB的延長線于點E．

（1）求證：CE是⊙O的切線；

（2）求證：CG＝BG；

（3）若∠DBA＝30°，CG＝8，求BE的長．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）BE＝8

【解析】

（1）連接OC，先證得，根據垂徑定理得到OC⊥BD，根據CE∥BD推出OC⊥CE，即可得到結論；

（2）根據圓周角定理得出∠ACB＝90°，然后根據同角的余角相等得出∠A＝∠BCF，即可證得∠BCF＝∠CBD，根據等角對等邊即可證得結論；

（3）連接AD，根據圓周角定理得出∠ADB＝90°，即可求得∠BAD＝60°，根據圓周角定理得出∠DAC＝∠BAC＝30°，然后根據三角形相似和等腰三角形的判定即可求得BE的值．

（1）證明：連接OC，

∵∠A＝∠CBD，

∴，

∴OC⊥BD，

∵CE∥BD，

∴OC⊥CE，

∴CE是⊙O的切線；

（2）證明：∵AB為直徑，

∴∠ACB＝90°，

∵CF⊥AB，

∴∠ACB＝∠CFB＝90°，

∵∠ABC＝∠CBF，

∴∠A＝∠BCF，

∵∠A＝∠CBD，

∴∠BCF＝∠CBD，

∴CG＝BG；

（3）解：連接AD，

∵AB為直徑，

∴∠ADB＝90°，

∵∠DBA＝30°，

∴∠BAD＝60°，

∵，

∴∠DAC＝∠BAC＝∠BAD＝30°，

∴，

∵CE∥BD，

∴∠E＝∠DBA＝30°，

∴AC＝CE，

∴，

∵∠A＝∠BCF＝∠CBD＝∠E＝30°，

∴∠BCE＝30°，

∴BE＝BC，

∴△CGB∽△CBE，

∴，

∵CG＝8，

∴BC＝8，

∴BE＝8．