Question

已知：AB為⊙O的直徑，P為AB弧的中點．

（1）若⊙O′與⊙O外切于點P（見圖甲），AP、BP的延長線分別交⊙O′于點C、D，連接CD，則△PCD是                    三角形；

（2）若⊙O′與⊙O相交于點P、Q（見圖乙），連接AQ、BQ并延長分別交⊙O′于點E、F，請選擇下列兩個問題中的一個作答：

問題一：判斷△PEF的形狀，并證明你的結論；

問題二：判斷線段AE與BF的關系，并證明你的結論.

我選擇問題        ，結論：                            .

證明：

Answer 1

 (1)等腰直角

(2)問題一：△PEF是等腰直角三角形

證明：連接PA、PB

∵AB是直徑，∴∠AQB＝∠EQF＝90°

∴EF是⊙O′的直徑，∴∠EPF＝90°

在△APE和△BPF中：∵PA＝PB，∠PBF＝∠PAE

∠APE=∠BPF=90°+∠EPB，∴△APE≌△BPF

∴PE=PF，∴△PEF是等腰直角三角形

問題二：AE=BF

證明：(如圖丙所示)連結AP、BP

則有：∠PAE=∠PBF，∠PEA=∠PFB，

又∵P為AB弧的中點，∴AP=BP

∴△APE≌△BPF(AAS)

∴AE=BF