Question

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=2，BC=4，點M是AD的中點，△MBC是等邊三角形．
（1）求證：梯形ABCD是等腰梯形；
（2）動點P、Q分別在線段BC和MC上運動，且∠MPQ=60°保持不變．設PC=x，MQ=y，求y與x的函數關系式；
（3）在（2）中：
①當動點P、Q運動到何處時，以點P、M和點A、B、C、D中的兩個點為頂點的四邊形是平行四邊形？并指出符合條件的平行四邊形的個數；
②當y取最小值時，判斷△PQC的形狀，并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）需證△AMB≌△DMC，可得AB=DC，可得梯形ABCD是等腰梯形；
（2）可證△BPM∽△CQP，，PC=x，MQ=y，BP=4-x，QC=4-y，，即可得出y=-x+4；
（3）應考慮四邊形ABPM和四邊形MBPD均為平行四邊形，四邊形MPCD和四邊形APCM均為平行四邊形時的情況；由（2）中的函數關系，可得當y取最小值時，x=PC=2，P是BC的中點，MP⊥BC，而∠MPQ=60°，∠CPQ=30°，∠PQC=90°．
解答：（1）證明：∵△MBC是等邊三角形，
∴MB=MC，∠MBC=∠MCB=60°．（1分）
∵M是AD中點，
∴AM=MD．
∵AD∥BC，
∴∠AMB=∠MBC=60°，∠DMC=∠MCB=60°．
∴△AMB≌△DMC．（2分）
∴AB=DC．
∴梯形ABCD是等腰梯形．（3分）

（2）解：在等邊△MBC中，MB=MC=BC=4，∠MBC=∠MCB=60°，∠MPQ=60°，
∴∠BMP+∠BPM=∠BPM+∠QPC=120°．
∴∠BMP=∠QPC．（4分）
∴△BPM∽△CQP．
∴．（5分）
∵PC=x，MQ=y，
∴BP=4-x，QC=4-y．（6分）
∴．
∴y=-x+4．（7分）


（3）解：①當BP=1時，則有BPAM，BPMD，
則四邊形ABPM為平行四邊形，
∴MQ=y=×3²-3+4=．（8分）
當BP=3時，則有PCAM，PCMD，
則四邊形MPCD為平行四邊形，
∴MQ=y=×1²-1+4=．（9分）
∴當BP=1，MQ=或BP=3，MQ=時，
以P、M和A、B、C、D中的兩個點為頂點的四邊形是平行四邊形．此時平行四邊形有2個．（10分）
②△PQC為直角三角形．（11分）
∵y=（x-2）²+3，
∴當y取最小值時，x=PC=2．（12分）
∴P是BC的中點，MP⊥BC，而∠MPQ=60°，
∴∠CPQ=30°，
∴∠PQC=90°．
∴△PQC是直角三角形．（13分）
點評：本題考查平行四邊形、直角三角形和等腰梯形的判定以及相似三角形的判定和性質的應用．