Question

在一次探究性活動中，教師提出了問題：已知矩形的長和寬分別是2和1，是否存在另一個矩形，它的周長和面積分別是已知矩形周長和面積的2倍？設所求矩形的長和寬分別為x，y
（1）小明從“圖形”的角度來研究：所求矩形的周長應滿足關系式①________，面積應滿足關系式②________，在同一坐標系中畫出①②的圖象，觀察所畫的圖象，你能得出什么結論？
（2）小麗從“代數”的角度來研究：由題意可列方程組________，解這個方程組，你能得出什么結論？

Answer 1

解：（1）設所求矩形的長和寬分別為x，y，
∵已知矩形的長和寬分別是2和1，新矩形的周長和面積分別是已知矩形周長和面積的2倍，
∴2（x+y）=2×2×（2+1）xy=2×2×1
∴y=-x+6，y=
圖象為：

根據圖象知：存在兩個矩形，能使得新矩形是原矩形的周長與面積的2倍．

（2）將（1）題中得到的兩個關系式聯立得：

整理得：x²-6x+4=0
∵△=（-6）²-4×4＞0，
∴存在兩個矩形，能使得新矩形是原矩形的周長與面積的2倍．
分析：（1）表示出有關周長和面積的兩個函數關系式，利用函數的圖形判斷是否存在這樣的矩形即可；
（2）將兩個函數關系式聯立后得到方程組，利用方程的方法判斷是否存在這樣的矩形即可．
點評：本題考查了反比例函數的應用，解題的關鍵是會靈活的運用函數圖象交點的意義，以及圖象的特點，試題中貫穿了方程思想和數形結合的思想，請注意體會．