Question

如圖，在平面直角坐標系中，點A的坐標為（8，0），點B的坐標為（0，6），動點P在以2單位/秒的速度，沿著OB→BA向點A移動，動點Q以1單位/秒沿著OA方向，向點A移動．若點P與點Q同時出發，運行的時間為t
（1）當點P在OB上移動時，求tan∠OQP；
（2）當點P在AB上移動時，求tan∠OQP；
（3）連接PQ，設PQ的中點為C，探索點C的運行路線．直接寫出你探索的結果．

Answer 1

分析：（1）根據題意可知OP=2OQ，然后根據直角三角形三角函數即可得出答案，
（2）根據題意構建直角三角形，由勾股定理及三角形相似等關系即可得出答案，
（3）根據題意及圖示即可寫出結論．

解答：解：（1）當0≤t≤3時，點P在OB上時，由題意可知，OP=2OQ，
在Rt△OPQ中，tan∠OQP=

OP

OQ

=2；

（2）當3＜t≤6時，點P在AB上時，作BD∥PQ，交x軸于點D，
∵OB=6，OA=8，
根據勾股定理得：AB=10，
∴OB+AB=2OA，
由題意可知，AP=2AQ，
∵BD∥PQ，可得△APQ∽△ABD且∠OQP=∠ODB，
∴AB=2AD，
∴AD=5，OD=3，
∴tan∠OQP=tan∠ODB=

6

3

=2；

（3）當0≤t≤3時，點C在線段y=2x（0≤x≤1.5）上運動，
當3≤t≤8時，點C在線段y=-

6

13

x+

48

13

（1.5≤x≤8）上運動．

點評：本題主要考查了直角三角形三角函數、勾股定理、三角形相似的性質以及動點思考，難度較大．