Question

【題目】問題情境：如圖1，AB∥CD，∠PAB=125°，∠PCD=135°，求∠APC的度數．

小明的思路是：過P作PE∥AB，通過平行線性質來求∠APC．

(1)按小明的思路，易求得∠APC的度數為　 　度。

(2)問題遷移：如圖2，AB∥CD，點P在射線OM上運動，記∠PAB=α，∠PCD=β，當點P在B、D兩點之間運動時，問∠APC與α、β之間有何數量關系？請說明理由；

(3)在(2)的條件下，①如果點P運動到D點右側（不包括D點），則∠APC與α、β之間的數量關系為 ．②如果點P運動到B點左側（不包括B點），則∠APC與α、β之間的數量關系 .（直接寫出結果）

Answer 1

【答案】（1）100°；（2）∠APC＝，理由詳見解析； （3）∠APC =, ∠APC =

【解析】

（1）過點P作PE∥AB，通過平行線性質來求∠APC；

（2）過P作PE∥AD交AC于E，推出AB∥PE∥DC，根據平行線的性質得出∠α=∠APE，∠β=∠CPE，即可得出答案；

（3）分兩種情況：P在BD延長線上；P在DB延長線上，分別畫出圖形，根據平行線的性質得出∠α=∠APE，∠β=∠CPE，即可得出答案.

解：（1）如圖1，過P作PE∥AB，

∵AB∥CD，

∴PE∥AB∥CD，

∴∠A+∠APE=180°，∠C+∠CPE=180°，

∵∠PAB=125°，∠PCD=135°，

∴∠APE=55°，∠CPE=45°，

∴∠APC=∠APE+∠CPE=55°+45°=100°.

（2）∠APC=α+β，

理由是：如下圖，過P作PE∥AB，交AC于E，

∵AB∥CD，

∴AB∥PE∥CD，

∴∠APE=∠PAB=α，∠CPE=∠PCD=β，

∴∠APC=∠APE+∠CPE=α+β.

（3）如下圖所示，當P在BD延長線上時，

過P作PE∥AB，交AC于E，

∵AB∥CD，

∴AB∥PE∥CD，

∴∠1=∠PAB=α，

∵∠1=∠APC+∠PCD

∴∠APC=∠1-∠PCD，

∴∠APC=α-β，

如下圖所示，當P在DB延長線上時，

過P作PE∥AB，交AC于E，

∵AB∥CD，

∴AB∥PE∥CD，

∴∠EPC=∠PCD=β，∠EPA=∠PAB=α

又∵∠EPC=∠EPA+∠APC，

∴∠APC=β-α.