Question

（2012•桂平市三模）如圖，在平面直角坐標系中拋物線y=x²+bx+c與x軸交于A（x₁，0）、B（x₂，0）兩點，與y軸交于點C，且x₁、x₂（x₁＜x₂）是方程（x+1）（x-3）=0的兩個根．
（1）求拋物線的解析式及點C坐標；
（2）若點D是線段BC上一動點，過點D的直線EF平行y軸交x軸于點F，交拋物線于點E．求DE長的最大值；
（3）試探究當DE取最大值時，在拋物線x軸下方是否存在點P，使以D、F、B、P為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，試說明理由．

Answer 1

分析：（1）先根據直線的解析式求出A、B兩點的坐標，然后將A、B的坐標代入拋物線中即可求出二次函數的解析式．進而可根據拋物線的解析式求出C點的坐標．
（2）DE的長實際是直線BC的函數值與拋物線的函數值的差，據此可得出一個關于DE的長和F點橫坐標的函數關系式，可根據函數的性質來求出DE的最大值．
（3）根據（2）的結果可確定出F，D的坐標，要使以D，F，B，P為頂點的四邊形是平行四邊形，必須滿足的條件是MP∥=BF，那么只需將D點的坐標向左或向右平移BF長個單位即可得出P點的坐標，然后將得出的P點坐標代入拋物線的解析式中，即可判斷出是否存在符合條件的P點．

解答：解：（1）如圖，∵x₁、x₂（x₁＜x₂）是方程（x+1）（x-3）=0的兩個根，
∴x₁=-1，x₂=3．
∵在平面直角坐標系中拋物線y=x²+bx+c與x軸交于A（x₁，0）、B（x₂，0）兩點，
∴A（-1，0）、B（3，0），
把它們代入拋物線解析式，得

1-b+c=0 9+3b+c=0

，
解得，

b=-2 c=-3

拋物線的解析式是：y=x²-2x-3．
當x=0時，y=-3，
∴C（3，0）．
綜上所述，拋物線的解析式是y=x²-2x-3，點C的坐標是（0，-3）；

（2）由（1）知B（3，0），C（0，-3），則易求直線BC的解析式是：y=x-3．
故設D（x，x-3）（0≤x≤3），則E（x，x²-2x-3）
∴DE=（x-3）-（x²-2x-3）=-x²+3x=-（x-

3

2

）²+

9

4

；
∴當x=

3

2

時，DE的最大值為

9

4

．

（3）答：不存在．
由（2）知DE取最大值時，DE=

9

4

，E（

3

2

，-

15

4

），D（

3

2

，-

3

2

）
∴DF=

3

2

，BF=OB-OF=

3

2

．
設在拋物線x軸下方存在點P，使以D，F，B，P為頂點的四邊形是平行四邊形，
則BP∥DF，BF∥PD．
∴P₁（0，-

3

2

）或P₂（3，-

3

2

）
當P₁（0，-

3

2

）時，由（1）知y=x²-2x-3=-3≠-

3

2

，
∴P₁不在拋物線上．
當P₂（3，-

3

2

）時，由（1）知y=x²-2x-3=0≠-

3

2

，
∴P₂不在拋物線上．
綜上所述：拋物線x軸下方不存在點P，使以D，F，B，P為頂點的四邊形是平行四邊形．

點評：本題著重考查了待定系數法求二次函數解析式、平行四邊形的判定和性質等知識點，綜合性強，考查學生分類討論，數形結合的數學思想方法．（2）中弄清線段DE長度的函數意義是解題的關鍵．