Question

小明合作學習小組在探究旋轉、平移變換．如圖△ABC，DEF均為等腰直角三角形，各頂點坐標分別為A（1，1），B（2，2），C（2，1），D（，0），E（2，0），F（，-）．
（1）他們將△ABC繞C點按順時針方向旋轉45°得到△A₁B₁C₁．請你寫出點A₁，B₁的坐標，并判斷A₁C和DF的位置關系；
（2）他們將△ABC繞原點按順時針方向旋轉45°，發現旋轉后的三角形恰好有兩個頂點落在拋物線y=2x²+bx+c上，請你求出符合條件的拋物線解析式；
（3）他們繼續探究，發現將△ABC繞某個點旋轉45°，若旋轉后的三角形恰好有兩個頂點落在拋物線y=x²上，則可求出旋轉后三角形的直角頂點P的坐標，請你直接寫出點P的所有坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）由旋轉性質及等腰直角三角形邊角關系求解；
（2）首先明確△ABC繞原點按順時針方向旋轉45°后的三角形即為△DEF，然后分三種情況進行討論，分別計算求解；
（3）旋轉方向有順時針、逆時針兩種可能，落在拋物線上的點有點A和點B、點B和點C、點C和點D三種可能，因此共有六種可能的情形，需要分類討論，避免漏解．
解答：解：（1）A₁（2-，1+），B₁（2+，1+）．
A₁C和DF的位置關系是平行．

（2）∵△ABC繞原點按順時針方向旋轉45°后的三角形即為△DEF，
∴①當拋物線經過點D、E時，根據題意可得：
，
解得
∴y=x²-12x+；
②當拋物線經過點D、F時，根據題意可得：
，
解得
∴y=x²-11x+；
③當拋物線經過點E、F時，根據題意可得：
，
解得
∴y=x²-13x+．

（3）在旋轉過程中，可能有以下情形：

①順時針旋轉45°，點A、B落在拋物線上，如答圖1所示：
易求得點P坐標為（0，）；
②順時針旋轉45°，點B、C落在拋物線上，如答圖2所示：
設點B′，C′的橫坐標分別為x₁，x₂．
易知此時B′C′與一、三象限角平分線平行，∴設直線B′C′的解析式為y=x+b，
聯立y=x²與y=x+b得：x²=x+b，即x²-x-b=0，
∴x₁+x₂=1，x₁x₂=-b．
∵B′C′=1，∴根據題意易得：|x₁-x₂|=，
∴（x₁-x₂）²=，即（x₁+x₂）²-4x₁x₂=
∴1+4b=，解得b=．
∴x²-x+=0，解得x=或x=．
∵點C′的橫坐標較小，∴x=．
當x=時，y=x²=，
∴P（，）；
③順時針旋轉45°，點C、A落在拋物線上，如答圖3所示：
設點C′，A′的橫坐標分別為x₁，x₂．
易知此時C′A′與二、四象限角平分線平行，∴設直線C′A′的解析式為y=-x+b，
聯立y=x²與y=-x+b得：x²=-x+b，即x²+x-b=0，
∴x₁+x₂=-1，x₁x₂=-b．
∵C′A′=1，∴根據題意易得：|x₁-x₂|=，
∴（x₁-x₂）²=，即（x₁+x₂）²-4x₁x₂=
∴1+4b=，解得b=．
∴x²+x+=0，解得x=或x=．
∵點C′的橫坐標較大，∴x=．
當x=時，y=x²=，
∴P（，）；

④逆時針旋轉45°，點A、B落在拋物線上．
因為逆時針旋轉45°后，直線A′B′與y軸平行，因為與拋物線最多只能有一個交點，故此種情形不存在；
⑤逆時針旋轉45°，點B、C落在拋物線上，如答圖4所示：
與③同理，可求得：P（，）；
⑥逆時針旋轉45°，點C、A落在拋物線上，如答圖5所示：
與②同理，可求得：P（，）．
綜上所述，點P的坐標為：（0，），（，），（，），（，）．
點評：本題考查了旋轉變換與二次函數的綜合題型，難度較大．第（3）問是本題難點所在，解題關鍵是：第一，旋轉方向有兩種可能，落在拋物線上的點有三種可能，因此共有六種可能的情形，需要分類討論；第二，針對每一種可能的情形，按照旋轉方向與旋轉角度，確定圖形形狀并進行計算．