Question

幾何課本第三冊復習題七中有這樣一道幾何題：以Rt△ABC的直角邊AC為直徑作圓，交斜邊AB于點D，過點D作圓的切線．求證：這條切線平分另一條直角邊BC．（不必證明）
現將上述習題改變成如下問題，請你解答：
如圖，以Rt△ABC的直角邊AC為直徑作⊙O，交斜邊AB于點D，E為BC邊的中點，連DE．
（1）判斷DE是否為⊙O的切線，并證明你的結論．
（2）當AD：DB=9：16時，DE=8cm時，求⊙O的半徑R．

Answer 1

【答案】分析：（1）連接OE，OD，根據全等三角形的判定，易得△OEC≌Rt△ODC，進而可得∠ODC=∠OCE=90°，故DE是⊙O的切線．
（2）設AD=9x（x＞O），BD=16x，根據切割線定理可得關系式，代入數據可得關于x的方程，解可得答案．
解答：解：（1）DE是⊙O的切線，
證明：連接OE，OD；
∵在Rt△CDB，E為BC邊的中點，
∴CE=DE．
∵OD=OC，OE是公共邊，
∴△OEC≌Rt△ODC．
∴∠ODC=∠OCE=90°．
∴DE是⊙O的切線．

（2）設AD=9x（x＞0），BD=16x，
由切割線定理有BC²=BD•AB，
∴x=（負值舍去）．
∴AB=20，AC=12．
∴⊙O的半徑R=6（cm）．
點評：本題考查切線的判定，線段長度的求法，要求學生掌握常見的解題方法，并能結合圖形選擇簡單的方法解題．