Question

【題目】我們知道：在小學已經學過“正方形的四條邊都相等，正方形的四個內角都是直角”，試利用上述知識，并結合已學過的知識解答下列問題：

如圖1，在正方形ABCD中，G是射線DB上的一個動點（點G不與點D重合），以CG為邊向下作正方形CGEF.

（1）當點G在線段BD上時，求證：；

（2）連接BF，試探索：BF，BG與AB的數量關系，并說明理由；

（3）若AB=a（a是常數），如圖2，過點F作FT∥BC，交射線DB于點T，問在點G的運動過程中，GT的長度是否會隨著G點的移動而變化？若不變，請求出GT的長度；若變化，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）BG+BF=；（3）不變，

【解析】

（1）根據正方形的性質得到∠DCB=∠GCF=90°，然后根據等式的性質證明；（2）利用SAS證明△DCG≌△BCF，從而DG=BF,BG+BF=BD，然后根據正方形的性質求BD與AB的關系，從而求解；（3）利用平行線及全等三角形的性質分析△BFT是等腰直角三角形，從而使問題求解.

解：（1）由題意可知，在正方形ABCD和正方形CGEF中

∠DCB=∠GCF=90°

∴∠DCB-∠GCB=∠GCF-∠GCB

∴

（2）在正方形ABCD和正方形CGEF中，DC=BC，GC=FC

又∵

∴△DCG≌△BCF

∴DG=BF

BG+BF=BD

又因為正方形ABCD中，BD=

∴BG+BF=

（3）如圖：

不變，理由如下：

∵FT∥BC∥AD

在△BFT中，∠BTF=∠ADB=45°

∠FBT=180°-∠DBC-∠CBF

∵△DCG≌△BCF

∴∠CBF=∠CDG=45°

∴∠FBT=90°

∴△BFT是等腰直角三角形

∴BT=BF

∴GT=GB+BT=BG+BF=GB+DG=BD=