Question

如果△ABM和△ACN分別是以△ABC的邊AB、AC為邊的形外等邊三角形，MC交BN于P，連PA，則∠APN=

 

．

Answer 1

分析：根據等邊三角形的三條邊相等，每個角都是直角可以證明△ABN與△AMC全等，根據全等三角形對應角相等可以得到∠ANP=∠ACP，然后證明△ANE與△PCE相似，根據相似三角形對應邊成比例可得

AE

PE

=

NE

CE

，從而得到△APE與△NCE相似，再根據相似三角形對應角相等的性質即可證明∠APN=∠ACN=60°．

解答：解：∵△ABM和△ACN都是等邊三角形，
∴AB=AM，AN=AC，∠BAM=∠CAN=60°，
∴∠BAM+∠BAC=∠CAN+∠BAC，
即∠CAM=∠BAN，
在△ABN與△AMC中，

AB=AM ∠CAM=∠BAN AC=AN

，
∴△ABN≌△AMC（SAS），
∴∠ANP=∠ACP，
又∵∠AEN=∠PEC（對頂角相等），
∴△ANE∽△PCE，
∴

AE

PE

=

NE

CE

，
∵∠AEP=∠NEC（對頂角相等），
∴△APE∽△NCE，
∴∠APN=∠ACN=60°．
故答案為：60°．

點評：本題主要考查了等邊三角形的性質，全等三角形的判定與性質，相似三角形的判定與性質，判定相似三角形是解題的關鍵，也是解決本題的難點．