Question

已知：如圖，在△ABC中，∠BAC=120°，以BC為邊向形外作等邊△BCD，把△ABD繞著點D按順時針方向旋轉60°后得到△ECD，若AB=3，AC=2．
（1）求證：點A、C、E在一條直線上；
（2）求∠BAD的度數；
（3）求AD的長．

Answer 1

分析：（1）根據等邊三角形的性質由△BCD為等邊三角形得到∠3=∠4=60°，DC=DB，再根據旋轉的性質得到∠5=∠1+∠4=∠1+60°，則∠2+∠3+∠5=∠2+∠1+120°，再根據三角形內角和定理得到
∠1+∠2=180°-∠BAC=60°，于是∠2+∠3+∠5=60°+120°=180°，即可得到點A、C、E在一條直線上；
（2）由于點A、C、E在一條直線上，△ABD繞著點D按順時針方向旋轉60°后得到△ECD，則∠ADE=60°，DA=DE，得到△ADE為等邊三角形，則∠DAE=60°，然后利用∠BAD=∠BAC-∠DAE計算即可；
（3）由于點A、C、E在一條直線上，則AE=AC+CE，根據旋轉的性質得到CE=AB，則AE=AC+AB=2+3=5，而△ADE為等邊三角形，則AD=AE=5．

解答：（1）證明：∵△BCD為等邊三角形，
∴∠3=∠4=60°，DC=DB，
∵△ABD繞著點D按順時針方向旋轉60°后得到△ECD，
∴∠5=∠1+∠4=∠1+60°，
∴∠2+∠3+∠5=∠2+∠1+120°，
∵∠BAC=120°，
∴∠1+∠2=180°-∠BAC=60°，
∴∠2+∠3+∠5=60°+120°=180°，
∴點A、C、E在一條直線上；

（2）解：∵點A、C、E在一條直線上，
而△ABD繞著點D按順時針方向旋轉60°后得到△ECD，
∴∠ADE=60°，DA=DE，
∴△ADE為等邊三角形，
∴∠DAE=60°，
∴∠BAD=∠BAC-∠DAE=120°-60°=60°，；

（3）解：∵點A、C、E在一條直線上，
∴AE=AC+CE，
∵△ABD繞著點D按順時針方向旋轉60°后得到△ECD，
∴CE=AB，
∴AE=AC+AB=2+3=5，
∵△ADE為等邊三角形，
∴AD=AE=5．

點評：本題考查了旋轉的性質：旋轉前后兩圖形全等；對應點到旋轉中心的距離相等；對應點與旋轉中心的連線段的夾角等于旋轉角．也考查了等邊三角形的判定與性質．