Question

（2013•梧州模擬）如圖：等圓⊙O₁和⊙O₂相交于A、B兩點，⊙O₁經過⊙O₂的圓心，順次連接A、O₁、B、O₂．
（1）求證：四邊形AO₁BO₂是菱形；
（2）過直徑AC的端點C作⊙O₁的切線CE交AB的延長線于E，連接CO₂交AE于D，求證：CE=2DO₂；
（3）在（2）的條件下，若S △AO2D=1，求S △O2DB的值．

Answer 1

分析：（1）根據⊙O₁和⊙O₂是等圓，再由半徑相等，可得AO₁=O₁B=BO₂=O₂A，繼而得出四邊形AO₁BO₂是菱形；
（2）根據（1）的結論，可得∠O₁AB=∠O₂AB，由切線及圓周角定理可得∠ACE=∠AO₂C=90°，從而判斷△ACE∽△AO₂D，再由相似三角形的對應邊成比例，可得出結論；
（3）根據AC∥BO₂，可判斷△ACD∽△BO₂D，從而得出

DB

AD

=

BO2

AC

=

1

2

，AD=2BD，再由高相等的兩三角形的面積之比等于底邊之比，可得出△O₂DB的面積．

解答：證明：（1）∵⊙O₁與⊙O₂是等圓，
∴AO₁=O₁B=BO₂=O₂A，
∴四邊形AO₁BO₂是菱形．
（2）∵四邊形AO₁BO₂是菱形，
∴∠O₁AB=∠O₂AB，
∵CE是⊙O₁的切線，AC是⊙O₁的直徑，
∴∠ACE=∠AO₂C=90°，
∴△ACE∽△AO₂D，
∴

DO2

EC

=

AO2

AC

=

1

2

，
即CE=2DO₂．
（3）∵四邊形AO₁BO₂是菱形
∴AC∥BO₂，
∴△ACD∽△BO₂D，
∴

DB

AD

=

BO2

AC

=

1

2

，
∴AD=2BD，
又∵S △AO2D=1，
∴S_△O2DB=

1

2

．

點評：本題考查了圓的綜合，涉及了圓周角定理、切線的性質、菱形的判定及相似三角形的判定與性質，綜合考察的知識點較多，解答本題需要同學具有扎實的基本功，能將所學知識融會貫通．