Question

23、已知：如圖，點C、D在線段AB上．
（1）如果△PCD是等邊三角形，當∠APB=

120°

時，△ACP∽△PDB；
（2）如果△PCD是等腰直角三角形，且PC=PD，當∠APB=

135°

時，△ACP∽△PDB；
（3）如果△PCD是等腰三角形，其中PC=PD，∠PCD=30°，試猜想當∠APB等于多少度時，△ACP∽△PDB．請證明你在（3）中的猜想．

Answer 1

分析：利用相似三角形性質，等腰三角形性質，三角形一個外角等于不相鄰的兩個內角之和，即可得出答案．

解答：解：（1）∵△PCD是等邊三角形，∴∠PCD=60°．
又∵∠PCD為△PCA的一個外角，
∴∠PCD=∠CPA+∠CAP．
若△ACP∽△PDB，那么∠DPB=∠CAP，
即∠DPB+∠CPA=∠PCD=60°，
又∵△PCD為等邊三角形，
∴∠CPD=60°．
∴∠APB=120°．

（2）當△PCD為直角三角形且∠CPD=90°時，∠PCD=45°，
根據（1）結果可知∠APB=∠PCD+90°=135°．

（3）由以上兩題可猜想規律為∠APB=∠PCD+∠CPD．
若△PCD為等腰三角形，且∠PCD=30°，那么∠CPD=120°，
∴∠APB=30°+120°=150°．

點評：此題考查了相似三角形的性質以及三角形外角性質，本題關鍵為找到角之間的關系規律．