Question

已知：拋物線y=ax²+bx+c（a≠0），頂點C（1，-3），與x軸交于A，B兩點，A（-1，0）。

（1）求這條拋物線的解析式；
（2）如圖，以AB為直徑作圓，與拋物線交于點D，與拋物線對稱軸交于點E，依次連接A，D，B，E，點P為線段AB上一個動點（P與A，B兩點不重合），過點P作PM⊥AE于M，PN⊥DB于N，請判斷是否為定值？若是，請求出此定值；若不是，請說明理由；
（3）在（2）的條件下，若點S是線段EP上一點，過點S作FG⊥EP，FG分別與邊AE，BE相交于點F，G（F與A，E不重合，G與E，B不重合），請判斷是否成立，若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由。

Answer 1

解：（1）設拋物線的解析式為y=a（x-1）2-3， 將A（-1，0）代入：0=a（-1-1）2-3， 解得a=， 所以，拋物線的解析式為y=（x-1）2-3，即； （2）是定值，， ∵AB為直徑， ∴∠AEB=90°， ∵PM⊥AE， ∴PM∥BE， ∴△APM∽△ABE， ∴， 同理：， ①+②： （3）∵直線EC為拋物線對稱軸， ∴EC垂直平分AB， ∴EA=EB， ∵∠AEB=90°， ∴△AEB為等腰直角三角形， ∴∠EAB=∠EBA=45°， 如圖，過點P作PH⊥BE與H， 由已知及作法可知，四邊形PHEM是矩形， ∴PH=ME且PH∥ME， 在△APM和△PBH中， ∵∠AMP=∠PBH=90°，∠EAB=∠BPH=45°， ∴PH=BH，且△APM∽△PBH， ∴， ∴， 在△MEP和△EGF中， ∵PE⊥FG， ∴∠FGE+∠SEG=90°， ∵∠MEP+∠SEG=90°， ∴∠FGE=∠MEP， ∵∠PME=∠FEG=90°， ∴△MEP∽△EGF， ∴， 由①、②知：。