Question

問(wèn)題提出：以n邊形的n個(gè)頂點(diǎn)和它內(nèi)部的m個(gè)點(diǎn)，共（m+n）個(gè)點(diǎn)作為頂點(diǎn)，可把原n邊形分割成多少個(gè)互不重疊的小三角形？問(wèn)題探究：為了解決上面的問(wèn)題，我們將采取一般問(wèn)題特殊性的策略，先從簡(jiǎn)單和具體的情形入手：
探究一：以△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)和它內(nèi)部的1個(gè)點(diǎn)P，共4個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)，可把△ABC分割成多少個(gè)互不重疊的小三角形？如圖①，顯然，此時(shí)可把△ABC分割成3個(gè)互不重疊的小三角形．探究二：以△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)和它內(nèi)部的2個(gè)點(diǎn)P、Q，共5個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)，可把△ABC分割成多少個(gè)互不重疊的小三角形？在探究一的基礎(chǔ)上，我們可看作在圖①△ABC的內(nèi)部，再添加1個(gè)點(diǎn)Q，那么點(diǎn)Q的位置會(huì)有兩種情況：一種情況，點(diǎn)Q在圖①分割成的某個(gè)小三角形內(nèi)部．不妨假設(shè)點(diǎn)Q在△PAC內(nèi)部，如圖②；另一種情況，點(diǎn)Q在圖①分割成的小三角形的某條公共邊上．不妨假設(shè)點(diǎn)Q在PA上，如圖③．顯然，不管哪種情況，都可把△ABC分割成5個(gè)不重疊的小三角形．
探究三：以△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)和它內(nèi)部的3個(gè)點(diǎn)P、Q、R，共6個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)可把△ABC分割成 （     ）個(gè)互不重疊的小三角形，并在圖④中畫(huà)出一種分割示意圖．
探究四：以△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)和它內(nèi)部的m個(gè)點(diǎn)，共（m+3）個(gè)頂點(diǎn)可把△ABC分割成（     ）個(gè)互不重疊的小三角形．
探究拓展：以四邊形的4個(gè)頂點(diǎn)和它內(nèi)部的m個(gè)點(diǎn)，共（m+4）個(gè)頂點(diǎn)可把四邊形分割成（     ）個(gè)互不重疊的小三角形．
問(wèn)題解決：以n邊形的n個(gè)頂點(diǎn)和它內(nèi)部的m個(gè)點(diǎn)，共（m+n）個(gè)頂點(diǎn)可把△ABC分割成（      ）個(gè)互不重疊的小三角形．
實(shí)際應(yīng)用：以八邊形的8個(gè)頂點(diǎn)和它內(nèi)部的2012個(gè)點(diǎn)，共2020個(gè)頂點(diǎn)，可把八邊形分割成多少個(gè)互不重疊的小三角形？（要求列式計(jì)算）

Answer 1

解：探究三：如圖，三角形內(nèi)部的三點(diǎn)共線與不共線時(shí)都分成了7部分，
故答案為：7；
分割示意圖（答案不唯一）
探究四：三角形內(nèi)部1個(gè)點(diǎn)時(shí)，共分割成3部分，3=3+2（1﹣1），
三角形內(nèi)部2個(gè)點(diǎn)時(shí)，共分割成5部分，5=3+2（2﹣1），
三角形內(nèi)部3個(gè)點(diǎn)時(shí)，共分割成7部分，7=3+2（3﹣1），…，
所以，三角形內(nèi)部有m個(gè)點(diǎn)時(shí)，3+2（m﹣1）或2m+1；
探究拓展：四邊形的4個(gè)頂點(diǎn)和它內(nèi)部的m個(gè)點(diǎn)，則分割成的不重疊的三角形的個(gè)數(shù)為：4+2（m﹣1）或2m+2
問(wèn)題解決：n+2（m﹣1）或2m+n﹣2
實(shí)際應(yīng)用：把n=8，m=2012代入上述代數(shù)式，
得2m+n﹣2，
=2×2012+8﹣2，
=4024+8﹣2，
=4030