Question

若k為正整數，且一元二次方程（k-1）x²-px+k=0的兩根為正整數，求k^kp（p^p+k^k）+（p+k）的值．

Answer 1

分析：設原方程的兩個根分別為x₁，x₂，再有根與系數的關系可得到關于k的不等式，根據方程的兩根及k為整數即可求出方程的兩根及k的值，再代入所求代數式即可求解．

解答：解：設原方程的兩個根分別為x₁，x₂，
∵原方程有兩個正整數根，
根據韋達定理得x₁•x₂=

k

k-1

＞0，①
且它的值為整數變形得1+

1

k-1

＞0，

1

k-1

＞-1，
又∵

1

k-1

為整數，
∴

1

k-1

=1
∴k=2，代入①得x₁•x₂=2，
∴x₁=1，x₂=2，
把k=2，x=1（或者2也可以）代入原方程得p=3，
∴k^kp（p^p+k^k）+（p+k）=2^2×3（3³+2²）+（3+2）=1989．
故答案為：1989．

點評：本題考查的是一元二次方程根與系數的關系及代數式求值，根據根與系數的關系列出關于k的不等式是解答此題的關鍵．