Question

將一張矩形紙片（如圖a）沿對(duì)角線AC剪開(kāi)，得到兩張三角形紙片（如圖b），其中∠ACB=α，然后將這兩張三角形紙片按如圖c所示的位置擺放，△EFD紙片的直角頂點(diǎn)D落在△ACB紙片的斜邊AC上，直角邊DF落在AC所在的直線上．
（1）若ED與BC相交于點(diǎn)G，取AG的中點(diǎn)M，連接MB、MD，當(dāng)△EFD紙片沿CA方向平移時(shí)（如圖c），請(qǐng)你觀察MB、MD的長(zhǎng)度，猜想并寫出MB與MD的數(shù)量關(guān)系，然后證明你的猜想；
（2）在（1）的條件下，求出∠BMD的大小（用含α的代數(shù)式表示），并說(shuō)明當(dāng)α=45°時(shí)，△BMD是什么三角形？

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)直角三角形斜邊上 中線性質(zhì)推出MB=AG，MD=AG即可；
（2）根據(jù)三角形外角性質(zhì)求出∠BMG=2∠BAM，∠DMG=2∠DAM，推出∠BMD=2∠BAC，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出∠BAC即可．
解答：解：（1）MB=MD，
證明：∵AG的中點(diǎn)為M，
∴在Rt△ABG中，，
在Rt△ADG中，，
∴MB=MD．

（2）∵∠BMG=∠BAM+∠ABM=2∠BAM，
同理∠DMG=∠DAM+∠ADM=2∠DAM，
∴∠BMD=2∠BAM+2∠DAM=2∠BAC，
而∠BAC=90°-α，
∴∠BMD=180°-2α，
∴當(dāng)α=45°時(shí)，∠BMD=90°，此時(shí)△BMD為等腰直角三角形．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查對(duì)等腰直角三角形的性質(zhì)，平移的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，三角形的外角性質(zhì)，直角三角形斜邊上 的中線性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的理解和掌握，綜合運(yùn)用這些性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵．