Question

（2009•北京）如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，∠C=45°，AD=1，BC=4，E為AB中點，EF∥DC交BC于點F，求EF的長．

Answer 1

【答案】分析：可過點D作DG⊥BC于點G，解直角三角形DGC，求出DG=AB的長，進一步求出BE，再解直角三角形BEF，再解這個三角形即可；或延長FE交DA的延長線于點G，證明四邊形DGFC是平行四邊形，再證明△AGE≌△BFE，說明AG=BF，最后解依據DG=FC得出的一元一次方程即可．
解答：解：解法一：如圖1，過點D作DG⊥BC于點G．
∵AD∥BC，∠B=90°，
∴∠A=90度．
可得四邊形ABGD為矩形．
∴BG=AD=1，AB=DG．
∵BC=4，
∴GC=3．
∵∠DGC=90°，∠C=45°，
∴∠CDG=45度．
∴DG=GC=3．
∴AB=3．
又∵E為AB中點，
∴BE=AB=．
∵EF∥DC，
∴∠EFB=45度．
在△BEF中，∠B=90度．
∴EF==．

解法二：如圖2，延長FE交DA的延長線于點G．
∵AD∥BC，EF∥DC，
∴四邊形GFCD為平行四邊形，∠G=∠1．
∴GD=FC．
∵EA=EB，∠2=∠3，
∴△GAE≌△FBE．
∴AG=BF．
∵AD=1，BC=4，
設AG=x，則BF=x，CF=4-x，GD=x+1．
∴x+1=4-x．
解得x=．∵∠C=45°，
∴∠1=45度．
在△BEF中，∠B=90°，
∴EF=．
點評：此題考查簡單圖形中的線段的求法，一可以通過特殊角的三角函數值及四邊形的有關知識及勾股定理求解；二可以通過特殊四邊形的性質，借助全等三角形有關知識建立方程求解．