Question

（2012•西寧）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，已知CD⊥AB，BC=1
（1）如果∠BCD=30°，求AC；
（2）如果tan∠BCD=

1

3

，求CD．

Answer 1

分析：（1）根據直角三角形的兩銳角互余，由∠BCD的度數求出∠B的度數，利用銳角三角函數定義表示出tanB，將tanB及BC的長代入，即可求出AC的長；
（2）在直角三角形BDC中，由已知tan∠BCD的值，利用銳角三角函數定義得出BD與CD的比值為1：3，根據比值設出BD=k，CD=3k，再由BC的長，利用勾股定理列出關于k的方程，求出方程的解得到k的值，即可求出CD的長．

解答：解：（1）∵CD⊥AB，∴∠BDC=90°，
∵∠DCB=30°，∴∠B=60°，
在Rt△ACB中，∠ACB=90°，
∴tan60°=

AC

BC

=

3

，又BC=1，
則AC=

3

；
（2）在Rt△BDC中，tan∠BCD=

BD

CD

=

1

3

，
設BD=k，則CD=3k，又BC=1，
利用勾股定理得：k²+（3k）²=1，
解得：k=

10

10

或k=-

10

10

（舍去），
則CD=3k=

3 10

10

．

點評：此題屬于解三角形的題型，涉及的知識有：勾股定理，銳角三角函數定義，比例的性質，以及特殊角的三角函數值，是一道多知識點的綜合題．