Question

如圖，正方形ABCD中，E、F為BC，CD的上點且∠EAF=45°，求證：EF=BE+DF．

Answer 1

證明：如圖，把△ABE逆時針旋轉90°得到△ADG，
∴BE=GD，AE=AG，
∵∠EAF=45°，
∴∠FAG=90°-45°=45°，
∴∠EAF=∠FAG，
在△AEF和△AGF中，
，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴EF=GF，
即EF=GD+DF，
∴EF=BE+DF．
分析：把△ABE逆時針旋轉90°得到△ADG，根據旋轉的性質可得BE=GD，AE=AG，再根據∠EAF=45°求出∠FAG=45°，然后利用邊角邊定理證明△AEF與△AGF全等，根據全等三角形對應邊相等可得EF=GF，即EF=GD+FD，即可證明EF=BE+DF．
點評：本題考查了正方形四邊均相等，且各內角均為直角的性質，考查了全等三角形的證明，本題把△ABE逆時針旋轉90°，構建全等三角形△AEF與△AGF是解題的關鍵．