Question

在矩形ABCD中，AB=4，BC=2，以A為坐標原點，AB所在的直線為x軸，建立直角坐標系．然后將矩形ABCD繞點A逆時針旋轉，使點B落在y軸的E點上，則C和D點依次落在第二象限的F點上和x軸的G點上（如圖）．
（1）求經過B，E，G三點的二次函數解析式；
（2）設直線EF與（1）的二次函數圖象相交于另一點H，試求四邊形EGBH的周長．
（3）設P為（1）的二次函數圖象上的一點，BP∥EG，求P點的坐標．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據旋轉的性質可知：AG=AD，AE=AB，由此可求出E、G的坐標，用待定系數法即可求出拋物線的解析式．
（2）先根據拋物線的解析式求出H點的坐標，然后根據G、F、B、H的坐標來求出四邊形的周長即可．
（3）先求出直線GE的解析式，已知直線BP與GE平行，因此兩直線的斜率相同，可據此求出直線BP的解析式，然后聯立拋物線的解析式即可求出P點的坐標．
解答：解：（1）由題意可知，AE=AB=4，AG=AD=BC=2．
∴B（4，0），E（0，4），G（-2，0）．
設經過B，E，G三點的二次函數解析式是y=a（x+2）（x-4）．
把E（0，4）代入之，求得a=-．
∴所求的二次函數解析式是：y=-（x+2）（x-4）=-x²+x+4．

（2）由題意可知，四邊形AEFG為矩形．
∴FH∥GB，且GB=6．
∵直線y=4與二次函數圖象的交點H的坐標為H（2，4），
∴EH=2．
∵G與B，E與H關于拋物線的對稱軸對稱，
∴BH=EG==2．
∴四邊形EGBH的周長
=2+6+2×2
=8+4．

（3）易知直線EG的解析式為y=2x+4，
可是直線PB的解析式為y=2x+h，
則有8+h=0，h=-8；
∴直線BP的解析式為y=2x-8；
聯合一次，二次函數解析式組成方程組，
解得或（此組數為B點坐標）
∴所求的P點坐標為P（-6，-20）．
點評：此題的綜合性較強，考查的知識點較多，但是解法較多，使試題的切入點也較多，很容易入題．