Question

【題目】如圖，將ABCD的邊AB延長至點E，使BE=AB，連接DE、EC、BD、DE交BC于點O．

（1）求證：△ABD≌△BEC；

（2）若∠BOD=2∠A，求證：四邊形BECD是矩形．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【解析】

（1）先運用平行四邊形的知識得到AB=BE、BE=DC、BD=EC，即可證明△ABD≌△BEC；

（2）由四邊形BECD為平行四邊形可得OD=OE，OC=OB，再結合四邊形ABCD為平行四邊形得到∠A=∠OCD，再結合已知條件可得OC=OD，即BC=ED；最后根據對角線相等的平行四邊形是矩形證明即可．

證明：(1)∵在平行四邊形ABCD

∴AD=BC，AB=CD，AB∥CD，即BE∥CD．

又∵AB=BE，

∴BE=DC．

∴四邊形BECD為平行四邊形．

∴BD=EC．

在△ABD與△BEC中，

∴△ABD≌△BEC(SSS)；

(2)∵四邊形BECD為平行四邊形，

∴ OD=OE，OC=OB，

∵四邊形ABCD為平行四邊形，

∴∠A=∠BCD．即∠A=∠OCD．

又∵∠BOD=2∠A，∠BOD=∠OCD+∠ODC，

∴∠OCD=∠ODC

∴OC=OD．

∴OC+OB=OD+OE，即BC=ED．

∴四邊形BECD為矩形．