Question

（2012•長寧區二模）如圖，在直角坐標平面中，O為原點，A（0，6），B（8，0）．點P從點A出發，以每秒2個單位長度的速度沿射線AO方向運動，點Q從點B出發，以每秒1個單位長度的速度沿x軸正方向運動．
P、Q兩動點同時出發，設移動時間為t（t＞0）秒．
（1）在點P、Q的運動過程中，若△POQ與△AOB相似，求t的值；
（2）如圖（2），當直線PQ與線段AB交于點M，且

BM

MA

=

1

5

時，求直線PQ的解析式；
（3）以點O為圓心，OP長為半徑畫⊙O，以點B為圓心，BQ長為半徑畫⊙B，討論⊙O和⊙B的位置關系，并直接寫出相應t的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）分別表示出OP，OQ的長度，再分OP與OA，OP與OB是對應邊兩種情況，根據相似三角形對應邊成比例列式進行計算即可得解；
（2）過點M分別作x軸、y軸的垂線，垂足分別為N、G，然后平行線分線段成比例定理列式求出MN、MG的長度，從而得到點M的坐標，然后在Rt△MQN中與Rt△PQO中，利用同一個角∠MQN與∠PQO的正切值相等列出方程求解得到t的值，然后求出點P的坐標，再利用待定系數法求直線函數解析式解答；
（3）表示出OP、BQ的長度，然后根據實際意義求出兩圓外切與內切時t的值，再寫出兩圓外離、相交、內含時的t的取值范圍即可．

解答：解：（1）根據題意，t秒時，AP=2t，BQ=t，OP=|6-2t|，OQ=8+t．
分兩種情況：
①若△POQ∽△AOB，則當OP與OA是對應邊時，

OP

OA

=

OQ

OB

，即

|6-2t|

6

=

8+t

8

，
所以，8（6-2t）=6（8+t）或8（2t-6）=6（8+t），
整理得，解得t=0（舍去），t=

48

5

；
②若△POQ∽△BOA，則當OP與OB是對應邊時，

OP

OB

=

OQ

OA

，即

|6-2t|

8

=

8+t

6

，
所以，6（6-2t）=8（8+t）或6（2t-6）=8（8+t），
整理得，t=-

7

5

（舍去），t=25，
所以，當t=

48

5

或25時，△POQ∽△AOB；

（2）過M分別作x軸、y軸的垂線，垂足分別為N、G．
∵PO∥MN，∴

MN

OA

=

MB

BA

，
∵

MB

MA

=

1

5

，∴

MB

BA

=

1

6

，
∴

MN

OA

=

1

6

，
∵OA=6，∴MN=1，
同理MG=

5

6

OB，
∵OB=8，∴MG=

20

3

，
∴點M的坐標為（

20

3

，1），
∵OQ=8+t，
∴NQ=8+t-

20

3

=

4

3

+t，
在Rt△MNQ中，tan∠MQN=

MN

NQ

=

1

4 3 +t

，
在Rt△OPQ中，tan∠PQO=

OP

OQ

=

6-2t

8+t

，
∴

1

4 3 +t

=

6-2t

8+t

，
整理得，6t²-7t=0，
解得t=

7

6

，t=0（舍去），
OP=6-2×

7

6

=

11

3

，
∴點P的坐標為P（0，

11

3

）．
設PQ直線解析式為y=kx+b，
則

b= 11 3 20 3 k+b=1

，解得

k=- 2 5 b= 11 3

，
∴PQ直線解析式：y=-

2

5

x+

11

3

；

（3）|6-2t|+t=8時，6-2t+t=8或2t-6+t=8，
解得t=-2（舍去），t=

14

3

，
|6-2t|-t=8時，6-2t-t=8或2t-6-t=8，
解得t=-

2

3

（舍去），t=14，
又當t=3時，OP=0，⊙O不存在，
所以，①當0＜t＜

14

3

且t≠3時，兩圓外離；
②當t=

14

3

時，兩圓外切；
③當

14

3

＜t＜14時，兩圓相交；
④當t=14時，兩圓內切；
⑤當t＞14時，兩圓內含．（每個結果（1分），共5分）

點評：本題是對一次函數的綜合考查，主要利用了相似三角形對應邊成比例，平行線分線段成比例定理，以及圓的位置關系，（3）中要注意先求出外切與內切時的兩個臨界值．