Question

如圖，在平面直角坐標系xOy中，一次函數y=kx+b與反比例函數y=

m

x

的圖象交于點A，與x軸交于點B，AC⊥x軸于點C，tan∠ABC=

2

3

，AB=2

13

，OB=OC．
（1）求反比例函數和一次函數的解析式；
（2）若一次函數與反比例函數的圖象的另一交點為D，作DE⊥y軸于點E，連接OD，求△DOE的面積．

Answer 1

分析：（1）在Rt△ABC中，利用勾股定理和銳角三角函數的定義求得AC=4，BC=6；然后由已知條件“OB=OC”求得點A、B的坐標；最后將其代入直線方程和反比例函數解析式，即利用待定系數法求函數的解析式；
（2）由反例函數y=

k

x

的幾何意義可知，S_△DOE=

1

2

|k|．

解答：解：（1）∵AC⊥x軸于點C，∴∠ACB=90°．
在Rt△ABC中，tan∠ABC=

AC

CB

=

2

3

，
設 AC=2a，BC=3a，則AB=

AC2+BC2

=

13

a．
∴

13

a=2

13

．   
 解得：a=2．
∴AC=4，BC=6．   …（2分）
又∵OB=OC，∴OB=OC=3．∴A（-3，4）、B（3，0）．   …（4分）
將A（-3，4）、B（3，0）代入y=kx+b，∴

-3k+b=4 3k+b=0.

解得：

k=- 2 3 b=2.

…（6分）
∴直線AB的解析式為：y=-

2

3

x+2．                    …（7分）
將A（-3，4）代入y=

m

x

(m≠0)得：4=-

m

3

．解得：m=-12．
∴反比例函數解析式為y=-

12

x

．                         …（8分）

（2）∵D是反比例函數y=-

12

x

上的點，DE⊥y于點E，
∴由反例函數的幾何意義，得S_△DOE=

1

2

×12=6．…（10分）

點評：此題主要考查了反比例函數與一次函數交點問題，關鍵掌握好利用圖象求方程的解時，就是看兩函數圖象的交點橫坐標．