Question

如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，分別以AB，CD為邊向外側作等邊三角形ABE和等邊三角形DCF，連接AF，DE．
（1）求證：AF=DE；
（2）若∠BAD=45°，AB=a，△ABE和△DCF的面積之和等于梯形ABCD的面積，求BC的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據等腰梯形的性質和等邊三角形的性質以及全等三角形的判定方法證明△AED≌△DFA即可；
（2）如圖作BH⊥AD，CK⊥AD，利用給出的條件和梯形的面積公式即可求出BC的長．
解答：（1）證明：在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，
∴∠BAD=∠CDA，
而在等邊三角形ABE和等邊三角形DCF中，
AB=AE，DC=DF，且∠BAE=∠CDF=60°，
∴AE=DF，∠EAD=∠FDA，AD=DA，
∴△AED≌△DFA（SAS），
∴AF=DE；

（2）解：如圖作BH⊥AD，CK⊥AD，則有BC=HK，
∵∠BAD=45°，
∴∠HAB=∠KDC=45°，
∴AB=BH=AH，
同理：CD=CK=KD，
∵S梯形ABCD=，AB=a，
∴S梯形ABCD==，
而S△ABE=S△DCF=a²，
∴=2×a²，
∴BC=a．
點評：本題綜合性的考查了等腰梯形的性質、等邊三角形的性質、全等三角形的判定、全等三角形的性質以及等于直角三角形的性質和梯形、三角形的面積公式，屬于中檔題目．